Maths 1ère Bac Pro ; Correction exercice 9: Fonction , équation et inéquation du second degré ; Factorisation et tableau de signe.

 Maths 1ère Bac Pro  

Correction exercice 9 : Fonction ,  équation et inéquation du second degré ; Factorisation et tableau de signe.


Soit la  fonction  f(x) = -7x² - 12   définie sur [ -9 , 9 ].

Voir fiche d'aide 👉   Fonction et équation du second degré

 a.      Résoudre  f(x) =  0.

          f(x) =  0           👉        -7x² - 12 = 0      

Identifier les nombres a, b et c de l'équation du second degré :

-7x² - 12   = 0      est de la forme   ax² + bx + c  = 0

   👉    a = -7                  b =            c = -12

Calculer le discriminant ( Delta ) et dire combien de solution s'elle existe:

  👉    ê= b² - 4ac = 0²- 4×(-7)×(-12) =  -336

ê < 0    👉   pas de  solution

 👉  Calculer les solutions" après avoir rappeler les expressions des solutions"  s'elles existent :      

pas de solution

   b.      Factoriser " après avoir rappeler l'expression de la factorisation"   la fonction du second degré  f(x) = -7x² - 12 
 

ê < 0   👉   pas de solution

             👉   pas de factorisation             

            c.       Donner le tableau de signe de la fonction du second degré f(x) = -7x² - 12 

 a = -7 donc le signe de a est négatif « - »





d.      En déduire du tableau de signe la ou les solutions "sous forme d'un intervalle " des inéquations suivantes s’elles existent :

      1.      f(x)  < 0

D'après le tableau :  f(x)  < 0 
lorsque x compris entre -9 et 9 :

            👉    -9  x  9  

              👉    x  appartient à [-9 ; 9 ]    

        👉    La solution est S = [ -9 ; 9 ] 

Signifie que toute valeur entre -9 et 9 est solution ( -9 et 9 compris)

       2.      f(x)  ≤ 0
 
f(x)   0  est composé de f(x)  < 0 et f(x)  = 0.
 D'après le tableau :  
                👉 f(x)  < 0 👉    La solution est S = [ -9 ; 9 ] 

                👉 f(x)  = 0 👉   pas de solution 

Donc   f(x)   0   à pour  solution S = [ -9 ; 9 ] 

    3.      f(x)  > 0


D'après le tableau :  f(x)  > 0 n'existe  pas 👉 donc pas de solution

    4.      f(x)  ≥ 0

              f(x)  0  est composé de f(x)  > 0 et f(x)  = 0.

D'après le tableau :  
                👉 f(x)  > 0 n'existe  pas 👉 donc pas de solution

                👉 f(x)  = 0  pas de solution 

Donc       f(x)    0   pas de solution  

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Equation de second degré dans le domaine de l'Environnement : Modélisation des interactions écologiques

Introduction

Dans le domaine de l'environnement, la modélisation des interactions écologiques est cruciale pour comprendre et prédire la dynamique des écosystèmes. Les interactions entre différentes espèces, les flux de matière et d'énergie, et les impacts des activités humaines sur l'environnement peuvent être décrits par des modèles mathématiques. Parmi ces modèles, les équations de second degré jouent un rôle important, car elles permettent de capturer des relations non linéaires complexes qui sont courantes dans les systèmes écologiques.

Fondements Mathématiques des Équations de Second Degré

Une équation de second degré est généralement formulée comme suit :

ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0

aa, bb, et cc sont des coefficients constants, et xx est la variable inconnue. Les solutions de cette équation sont données par la formule quadratique :

Cette formule est essentielle pour résoudre divers problèmes en modélisation écologique, car elle permet de décrire des dynamiques non linéaires qui sont courantes dans les interactions écologiques.

Applications des Équations de Second Degré en Modélisation Écologique

Modélisation des Populations

Les modèles de croissance de population sont parmi les plus fondamentaux en écologie. Un modèle de croissance logistique, par exemple, peut être formulé de manière à inclure une équation de second degré pour décrire la densité de population (PP) en fonction du temps (tt). Le modèle peut intégrer des termes quadratiques pour représenter la capacité de charge de l'environnement et les effets de densité-dépendance, où la croissance de la population ralentit à mesure que la population approche de la capacité de charge.

Interactions Prédateur-Proie

Les interactions entre prédateurs et proies sont souvent modélisées à l'aide d'équations différentielles non linéaires. Le modèle classique de Lotka-Volterra inclut des termes quadratiques pour représenter les taux de rencontre entre prédateurs et proies. En modifiant ces modèles pour inclure des équations de second degré, on peut mieux comprendre les dynamiques oscillatoires et les points d'équilibre du système prédateur-proie.

Compétition Intraspécifique et Interspecifique

Les interactions compétitives entre espèces peuvent également être décrites par des modèles incluant des équations de second degré. Ces modèles prennent en compte la compétition intraspécifique (au sein d'une même espèce) et interspécifique (entre différentes espèces). Les termes quadratiques peuvent représenter les effets de la compétition sur les taux de croissance des populations et permettent de prédire les résultats à long terme de la compétition, tels que l'exclusion compétitive ou la coexistence stable.

Modélisation des Écosystèmes Aquatiques

Dans les écosystèmes aquatiques, les interactions entre nutriments, phytoplancton, zooplancton et poissons peuvent être modélisées à l'aide d'équations de second degré. Ces modèles peuvent intégrer des termes non linéaires pour capturer les interactions complexes et les rétroactions dans le réseau trophique. Par exemple, la relation entre la concentration de nutriments et la biomasse de phytoplancton peut être décrite par une équation quadratique, permettant de modéliser des phénomènes tels que les efflorescences algales et les collapses de population.

Dynamique des Maladies

La propagation des maladies infectieuses dans les populations humaines et animales peut être modélisée à l'aide d'équations de second degré. Les modèles épidémiologiques, tels que le modèle SIR (Susceptibles-Infected-Recovered), peuvent inclure des termes quadratiques pour représenter les taux de transmission de la maladie et les interactions entre individus infectés et susceptibles. Ces modèles aident à prédire les épidémies, à évaluer l'impact des interventions de santé publique et à comprendre la dynamique à long terme des maladies infectieuses.

Étude de Cas : Modélisation de la Compétition entre Deux Espèces

Considérons un exemple de compétition entre deux espèces dans un habitat partagé. La dynamique des populations des deux espèces (N1N_1 et N2N_2) peut être modélisée par un système d'équations différentielles qui inclut des termes quadratiques pour représenter la compétition. Les équations peuvent prendre la forme :

r1r_1 et r2r_2 sont les taux intrinsèques de croissance, K1K_1 et K2K_2 sont les capacités de charge, et α12\alpha_{12} et α21\alpha_{21} sont les coefficients de compétition interspécifique. Ces équations contiennent des termes quadratiques en N1N_1 et N2N_2 qui représentent les interactions compétitives. En analysant ce système, on peut déterminer les conditions de coexistence ou d'exclusion compétitive des deux espèces.

Modélisation des Réseaux Trophiques

Les réseaux trophiques, qui décrivent les relations alimentaires entre différentes espèces dans un écosystème, peuvent être modélisés à l'aide d'équations de second degré. Les interactions entre les niveaux trophiques, tels que les producteurs primaires, les consommateurs primaires et les consommateurs secondaires, peuvent être représentées par des équations différentielles non linéaires. Par exemple, la biomasse des consommateurs primaires (CC) en fonction de la biomasse des producteurs primaires (PP) et des consommateurs secondaires (SS) peut être modélisée par une équation de second degré :

rCr_C est le taux de croissance des consommateurs primaires, KCK_C est la capacité de charge pour les consommateurs primaires, et βCP\beta_{CP} et βCS\beta_{CS} sont les coefficients d'interaction avec les producteurs primaires et les consommateurs secondaires. Cette équation capture les interactions complexes entre les différents niveaux trophiques et permet de modéliser les dynamiques du réseau trophique.

Modélisation de la Dispersion des Polluants

La dispersion des polluants dans l'environnement, que ce soit dans l'air, l'eau ou le sol, peut être modélisée par des équations de second degré. La concentration d'un polluant (CC) en fonction du temps (tt) et de la distance (xx) peut être décrite par une équation différentielle partielle qui inclut des termes quadratiques pour représenter la diffusion et l'advection du polluant. Par exemple, la concentration de polluant dans un cours d'eau peut être modélisée par une équation de diffusion-advection :

DD est le coefficient de diffusion et vv

 est la vitesse de l'eau. Cette équation permet de prédire la dispersion spatiale et temporelle des polluants dans l'environnement, aidant à évaluer les impacts environnementaux et à planifier des stratégies de gestion et de réduction de la pollution.

Modélisation des Effets du Changement Climatique

Le changement climatique a des effets complexes sur les écosystèmes, et la modélisation de ces effets nécessite souvent l'utilisation d'équations de second degré. Les impacts du changement climatique sur la distribution des espèces, la dynamique des populations, et les interactions écologiques peuvent être décrits par des modèles incluant des termes quadratiques. Par exemple, la relation entre la température (
TT) et le taux de croissance d'une espèce (rr) peut être modélisée par une équation quadratique :

r=aT2+bT+cr = aT^2 + bT + c

Cette équation permet de capturer les effets non linéaires du changement climatique sur les espèces et les écosystèmes, aidant à prédire les réponses écologiques aux changements environnementaux et à planifier des stratégies d'adaptation.

Applications Pratiques de la Modélisation Écologique

Gestion de la Faune et de la Flore

La modélisation des interactions écologiques est essentielle pour la gestion des populations animales et végétales. En utilisant des équations de second degré pour décrire la dynamique des populations et les interactions entre espèces, les gestionnaires de la faune et de la flore peuvent élaborer des stratégies de conservation et de gestion durable. Par exemple, la modélisation des interactions entre les prédateurs et leurs proies peut aider à prévenir la surpopulation ou la surexploitation d'espèces clés.

Planification de la Conservation

Les modèles écologiques basés sur des équations de second degré peuvent être utilisés pour identifier les habitats critiques et les corridors de migration pour les espèces menacées. Ces modèles aident à déterminer les zones prioritaires pour la conservation et à évaluer les impacts potentiels des projets de développement sur la biodiversité. En intégrant les interactions écologiques dans les plans de conservation, il est possible de maximiser l'efficacité des mesures de protection de l'environnement.

Évaluation des Impacts Environnementaux

Les études d'impact environnemental utilisent souvent des modèles écologiques pour évaluer les effets des activités humaines sur les écosystèmes. Les équations de second degré permettent de modéliser les interactions complexes entre les espèces et les facteurs environnementaux, fournissant une base scientifique pour les décisions de gestion et de régulation. Par exemple, la modélisation de la dispersion des polluants dans les écosystèmes aquatiques peut aider à prédire les effets des rejets industriels sur la qualité de l'eau et la santé des écosystèmes.

Gestion des Ressources Naturelles

La modélisation des interactions écologiques est également importante pour la gestion durable des ressources naturelles. Les modèles basés sur des équations de second degré peuvent être utilisés pour optimiser l'exploitation des ressources, telles que la pêche, la foresterie et l'agriculture, en minimisant les impacts environnementaux et en maximisant la durabilité des pratiques de gestion. Par exemple, la modélisation de la dynamique des populations de poissons peut aider à définir des quotas de pêche qui assurent la viabilité à long terme des stocks de poissons.

Prévision des Changements Écologiques

La modélisation des interactions écologiques permet de prévoir les changements futurs dans les écosystèmes en réponse aux pressions environnementales et anthropiques. En utilisant des équations de second degré pour décrire les dynamiques écologiques, les scientifiques peuvent simuler différents scénarios de changement climatique, de pollution, et d'utilisation des terres, et évaluer leurs impacts potentiels sur la biodiversité et les services écosystémiques. Ces prévisions aident à orienter les politiques environnementales et à planifier des mesures d'adaptation et de mitigation.

Conclusion

Les équations de second degré sont des outils puissants pour la modélisation des interactions écologiques dans le domaine de l'environnement. Elles permettent de capturer les relations non linéaires complexes qui caractérisent les systèmes écologiques et de fournir des solutions analytiques aux problèmes de dynamique des populations, de compétition, de propagation des maladies, et de dispersion des polluants. En intégrant ces modèles dans la gestion de la faune, de la flore, et des ressources naturelles, ainsi que dans la planification de la conservation et l'évaluation des impacts environnementaux, il est possible de développer des stratégies plus efficaces pour protéger l'environnement et promouvoir la durabilité des écosystèmes.

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