Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

Maths 1ère Bac Pro  

Exercice 9 : Fonction ,  équation et inéquation du second degré ; Factorisation et tableau de signe.

Soit la  fonction  f(x) = -7x² - 12   définie sur [ -9 , 9 ].

Voir fiche d'aide 👉   Fonction et équation du second degré

 a.      Résoudre  f(x) =  0.

          f(x) =  0           👉          .................................  = 0      

Identifier les nombres a, b et c de l'équation du second degré :

   👉    a = ………                  b = ………             c = .………. 

Calculer le discriminant ( Delta ) et dire combien de solution s'elle existe:

  👉    ê= b² - 4ac = ………………...........…  =  …..……

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 👉  Calculer les solutions" après avoir rappeler les expressions des solutions"  s'elles existent : 

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b.      Factoriser " après avoir rappeler l'expression de la factorisation"   la fonction du second degré   f(x) = -7x² - 12

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c.       Donner le tableau de signe de la fonction du second degré     f(x) = -7x² - 12

d.      En déduire du tableau de signe la ou les solutions "sous forme d'un intervalle " des inéquations suivantes s’elles existent :

      1.      f(x)  < 0

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      2.      f(x)  ≤ 0

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     3.      f(x)  > 0

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    4.      f(x)  ≥ 0

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Ce qu'il faut retenir : 👉   Récapitulatif

Voir correction Ex.9    👉  Correction Exercice.9 

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Passer à l'exercice.10   👉   Sujet Exercice.10  

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Equation de second degré dans le domaine de la Géologie : Modélisation de la formation des structures géologiques

Introduction à la Modélisation Géologique

La géologie, science de la Terre, étudie les processus qui forment et transforment les structures géologiques. La modélisation mathématique de ces processus est cruciale pour comprendre la formation des montagnes, des bassins sédimentaires, des failles, et des plis. Les équations de second degré, ou équations quadratiques, jouent un rôle significatif dans cette modélisation, en permettant aux géologues de décrire des phénomènes complexes tels que la déformation des roches sous contrainte, la propagation des ondes sismiques et la dynamique des fluides souterrains.

Fondements Mathématiques de l'Équation de Second Degré

Une équation de second degré est généralement exprimée sous la forme :

$ax^2 + bx + c = 0$

où $a$, $b$ et $c$ sont des coefficients constants, et $x$ est la variable inconnue. La solution de cette équation est obtenue par la formule quadratique :

​

Cette formule est fondamentale pour résoudre de nombreux problèmes géologiques, notamment ceux liés à la modélisation des structures géologiques.

Applications des Équations de Second Degré en Géologie

Déformation des Roches

Les roches de la croûte terrestre subissent des déformations en réponse aux forces tectoniques. La déformation peut être élastique, plastique ou ductile, et elle est souvent décrite par des équations différentielles qui peuvent prendre la forme d'équations de second degré. Par exemple, la relation entre la contrainte appliquée et la déformation résultante peut être non linéaire, nécessitant l'utilisation de modèles quadratiques pour une description précise.

Modélisation des Plis Géologiques

Les plis géologiques se forment lorsque les couches de roches sont compressées par des forces tectoniques. La géométrie des plis peut souvent être modélisée par des équations quadratiques. Un pli anticlinal, par exemple, peut être décrit par une courbe parabolique, où les équations de second degré sont utilisées pour définir la courbure et l'inclinaison des couches rocheuses.

Formation des Bassins Sédimentaires

Les bassins sédimentaires se forment par subsidence de la croûte terrestre et accumulation de sédiments. La modélisation de la subsidence et de l'accumulation sédimentaire utilise des équations différentielles où les termes quadratiques apparaissent fréquemment. Ces modèles permettent de prédire l'évolution des bassins et de comprendre les processus de dépôt des sédiments.

Propagation des Ondes Sismiques

La propagation des ondes sismiques à travers la Terre est un domaine important de la géophysique. Les équations de mouvement des ondes sismiques dans les milieux élastiques sont souvent des équations différentielles de second degré. La solution de ces équations permet de modéliser la vitesse et la direction des ondes, aidant à localiser les épicentres des tremblements de terre et à comprendre la structure interne de la Terre.

Dynamique des Fluides Souterrains

Les fluides souterrains, tels que l'eau et le pétrole, se déplacent à travers les pores et les fractures des roches. La dynamique de ces fluides est gouvernée par des équations différentielles, souvent de second degré, qui décrivent la pression et le flux des fluides. Ces équations sont essentielles pour modéliser les réservoirs souterrains et optimiser l'extraction des ressources.

Analyse des Failles

Les failles géologiques sont des fractures dans la croûte terrestre le long desquelles des mouvements relatifs ont eu lieu. La modélisation des failles implique l'utilisation d'équations quadratiques pour décrire la relation entre les forces tectoniques et le déplacement le long de la faille. Ces modèles aident à évaluer les risques sismiques et à comprendre les mécanismes de déclenchement des tremblements de terre.

Étude de Cas: Modélisation d'un Pli Anticlinal

Un exemple classique de l'application des équations de second degré en géologie est la modélisation d'un pli anticlinal. Un pli anticlinal se forme lorsque les couches de roche sont déformées en une structure convexe vers le haut. La géométrie du pli peut être décrite par une parabole, où la hauteur du pli ($h$) en fonction de la distance horizontale ($x$) par rapport à l'axe du pli est donnée par une équation de second degré :

$h<b>=</b>\mathrm{<b>a</b>}{}^{}$x²+bx+c

Cette équation permet de modéliser la forme du pli et de déterminer les paramètres géométriques, tels que l'amplitude et la largeur du pli. En résolvant cette équation, les géologues peuvent prédire la distribution des contraintes et des déformations dans les roches pliées.

Modélisation de la Subsidence dans les Bassins Sédimentaires

La subsidence dans les bassins sédimentaires est un processus où la croûte terrestre s'enfonce sous le poids des sédiments accumulés. La vitesse de subsidence ($S$) en fonction du temps ($t$) peut être modélisée par une équation de second degré :

$S<b>=</b>\mathrm{<b>at²\; +\; bt\; +c</b>}$

Cette équation décrit comment la vitesse de subsidence évolue avec le temps, permettant aux géologues de prédire l'accumulation future des sédiments et d'estimer les volumes de sédiments dans le bassin. En résolvant cette équation, il est possible de reconstruire l'histoire de la subsidence et de comprendre les processus géodynamiques à l'origine de la formation des bassins sédimentaires.

Propagation des Ondes Sismiques et Équations de Second Degré

Les ondes sismiques, générées par des tremblements de terre ou des explosions artificielles, se propagent à travers la Terre en suivant des trajectoires qui dépendent des propriétés élastiques des matériaux traversés. La relation entre la vitesse de l'onde ($v$) et la profondeur ($d$) peut être modélisée par une équation de second degré :

$v<b>=</b>\mathrm{<b>ad²\; +bd\; +c</b>}$

Cette équation permet de décrire comment la vitesse des ondes sismiques varie avec la profondeur, en tenant compte des changements de composition et de structure dans les différentes couches de la Terre. En résolvant cette équation, les sismologues peuvent interpréter les données sismiques pour identifier les caractéristiques des structures géologiques profondes.

Dynamique des Fluides Souterrains et Équations de Second Degré

La dynamique des fluides souterrains, tels que l'eau dans les aquifères ou le pétrole dans les réservoirs, est gouvernée par des lois de la mécanique des fluides et de la perméabilité des roches. La pression des fluides ($P$) en fonction de la profondeur ($z$) peut être modélisée par une équation de second degré :

$P<b>=</b>\mathrm{<b>az²\; +\; bz\; +c</b>}$

Cette équation décrit comment la pression des fluides varie avec la profondeur, permettant de modéliser le comportement des réservoirs souterrains et de planifier l'extraction des ressources. En résolvant cette équation, les ingénieurs peuvent optimiser les stratégies de production et minimiser les risques d'intrusion d'eau ou de fuite de pétrole.

Modélisation des Failles et des Mouvements Tectoniques

Les failles géologiques sont des zones de faiblesse dans la croûte terrestre où des mouvements relatifs se produisent. La relation entre la force tectonique ($F$) et le déplacement le long de la faille ($u$) peut être modélisée par une équation de second degré :

$F<b>=</b>\mathrm{<b>au²\; +bu\; +\; c</b>}$

Cette équation permet de décrire la dynamique des failles et de comprendre les mécanismes de rupture qui conduisent aux tremblements de terre. En résolvant cette équation, les géologues peuvent évaluer les risques sismiques et planifier des mesures de prévention pour minimiser les impacts des séismes.

Conclusion

Les équations de second degré jouent un rôle essentiel dans la modélisation de la formation des structures géologiques. Que ce soit pour décrire la déformation des roches, modéliser les plis géologiques, analyser la subsidence dans les bassins sédimentaires, étudier la propagation des ondes sismiques, ou comprendre la dynamique des fluides souterrains, ces équations fournissent un outil mathématique puissant pour comprendre et prédire les processus géologiques. En appliquant ces concepts mathématiques à la géologie, les scientifiques peuvent améliorer leur compréhension des mécanismes terrestres et développer des stratégies plus efficaces pour exploiter les ressources naturelles et protéger l'environnement. 

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