Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Cours

Dérivation et étude de fonction

I. Fonction dérivée et nombre dérivé :

A. Définition

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B. Application

En utilisant le tableau. Calculer les dérivées des fonctions suivantes puis en déduire le nombre dérivé au point A d’abscisse x_A = (–1 ; 2 et 6 ) puis le coefficient directeur de la tangente (y = ax + b) point A(x_A ; y_A) abscisse x_A.

le nombre dérivé au point A(x_A ; y_A) d’abscisse x_A est :

le coefficient directeur de la tangente (y=ax+b) point A(x_A ; y_A) d’abscisse x_Aest :

· ¦(x) = 2x - 3

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· ¦(x) = - 5x² + 6

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Exercices : www.infoenou.com : Maths Terminal Bac Pro : Fonction dérivée : Partie1 Ex de 1 à 6. 👉 Exercices

II. Etude de sens de variation d’une fonction .

A. Exemples.1 : ¦(x) = ax² + bx + c

1. Tableau de variation à partir du graphique :

Soit la fonction ¦définie sur l’intervalle [ -5 ; 10 ] par ¦(x) = x²- 6x +4

2. Tableau de variation sans le graphique :

Etudie le sens de variation de la fonction ¦définie sur l’intervalle [ -5 ; 10 ] par ¦(x) = x²-6x +4

a. Calculer la dérivée ¦¢(x) de fonction /

¦(x) = x²-6x +4

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b. Résoudre :

· ¦¢(x) = 0

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· ¦¢(x) < 0

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· ¦¢(x) > 0

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Application exemple.1

Exercices : www.infoenou.com : Maths Terminal Bac Pro : Fonction dérivée : Partie2 Ex de 1 à 7.👉 Exercices

B. Exemples.2 : ¦(x) = ax³ + bx² + cx + d

Soit la fonction ¦définie sur l’intervalle [ -7 ; 5 ] par ¦(x) = 2x³ + 6x² - 48x + 36

1. Tableau de variation à partir du graphique :

2. Tableau de variation sans le graphique :

Etudie le sens de variation de la fonction ¦définie sur l’intervalle [ -7 ; 5 ]

par ¦(x) = 2x³ + 6x² - 48x + 36

a. Calculer la dérivée ¦¢(x) de fonction ¦(x) = 2x³ + 6x² - 48x + 36

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b. Résoudre ¦¢(x) = 0

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Fonction dérivée en Planétologie : Étude des planètes, processus géologiques planétaires

L'astrophysique est une branche de l'astronomie qui se concentre sur l'étude des propriétés physiques et des interactions des objets célestes. Les fonctions dérivées jouent un rôle crucial en astrophysique pour modéliser l'évolution stellaire et la dynamique des galaxies. Elles permettent d'analyser les taux de changement, d'étudier les variations temporelles et spatiales, et de formuler des théories mathématiques précises. Cet article explore l'utilisation des dérivées en astrophysique, avec des exemples et des formules mathématiques pertinentes.

Évolution stellaire

L'évolution stellaire décrit les changements qu'une étoile subit tout au long de son existence, depuis sa formation jusqu'à sa fin en tant que naine blanche, étoile à neutrons ou trou noir. Les dérivées sont essentielles pour modéliser les processus physiques à l'intérieur des étoiles, comme les réactions nucléaires, le transport d'énergie et les modifications de structure.

Une étoile maintient son équilibre entre la pression radiative et la gravité, un état décrit par l'équation d'équilibre hydrostatique :

où P est la pression, r est le rayon, G est la constante gravitationnelle, M(r) est la masse contenue dans un rayon r, et ρ(r) est la densité. La dérivée de la pression par rapport au rayon décrit comment la pression change à l'intérieur de l'étoile, et cette équation est fondamentale pour comprendre la structure stellaire.

Le taux de production d'énergie par les réactions nucléaires dans le noyau d'une étoile est une fonction cruciale dans l'évolution stellaire. La luminosité L d'une étoile est liée à la dérivée de l'énergie par rapport au temps, exprimée comme :

où E est l'énergie totale produite par les réactions nucléaires. Cette dérivée décrit comment l'énergie générée change au fil du temps, influençant la luminosité et la température de l'étoile.

La théorie de la convection stellaire, qui traite du transport d'énergie par le mouvement de la matière, utilise également les dérivées. Le critère de Schwarzschild pour la convection stipule que la condition pour que la convection se produise est :

où $\nabla_{\text{rad}}$ est le gradient de température radiatif et $\nabla_{\text{ad}}$ est le gradient de température adiabatique. Les gradients de température sont des dérivées de la température par rapport au rayon, et ce critère indique que si le gradient radiatif dépasse le gradient adiabatique, la matière devient instable et la convection se produit.

Dynamique des galaxies

Les galaxies, immenses ensembles d'étoiles, de gaz, de poussières et de matière noire, évoluent sous l'influence de la gravité. Les dérivées sont utilisées pour modéliser les mouvements des étoiles à l'intérieur des galaxies et pour comprendre la dynamique globale des galaxies.

L'équation de Poisson, qui relie le potentiel gravitationnel à la densité de masse, est une équation fondamentale en dynamique galactique :

où Φ est le potentiel gravitationnel, ρ est la densité de masse, et ∇² est le laplacien, représentant la dérivée seconde par rapport aux coordonnées spatiales. Cette équation permet de déterminer le potentiel gravitationnel créé par la distribution de masse dans une galaxie, essentiel pour comprendre les mouvements des étoiles et des nuages de gaz.

Les courbes de rotation des galaxies spirales, qui montrent la vitesse de rotation en fonction de la distance au centre de la galaxie, sont des outils clés pour étudier la distribution de la masse. La vitesse de rotation v(r) est liée au potentiel gravitationnel par :

où M(r) est la masse à l'intérieur du rayon r. La dérivée de la vitesse par rapport au rayon permet de comprendre comment la vitesse de rotation change avec la distance, révélant la présence de matière noire si les vitesses observées ne correspondent pas à la masse lumineuse seule.

En cosmologie, la dynamique des galaxies est aussi étudiée en utilisant les équations de Jeans, qui décrivent la distribution des vitesses des étoiles dans une galaxie. La première équation de Jeans pour un système sphérique est donnée par :

où $\rho$ est la densité stellaire, $\sigma_r$ est la dispersion de vitesse radiale, $\beta$ est l'anisotropie de la vitesse:

est la dérivée du potentiel gravitationnel par rapport au rayon. Cette équation décrit l'équilibre dynamique des étoiles dans la galaxie et est utilisée pour déterminer la distribution de masse.

L'effet des interactions gravitationnelles entre les galaxies, comme les fusions et les marées galactiques, est également modélisé en utilisant les dérivées. Les simulations numériques, qui utilisent les dérivées spatiales et temporelles pour résoudre les équations de mouvement, permettent de reproduire et d'étudier ces interactions complexes.

En astrophysique, les fonctions dérivées sont également utilisées pour étudier les ondes de densité, qui sont des oscillations dans la distribution de la matière dans les galaxies. Les ondes de densité expliquent la formation des bras spiraux dans les galaxies spirales. L'équation linéaire des ondes de densité est :

où $\Sigma$ est la densité de surface des étoiles et du gaz, $c_s$ est la vitesse du son dans le disque galactique, et $\Sigma_0$ est la densité de surface moyenne. Cette équation, qui utilise des dérivées temporelles et spatiales, permet de comprendre comment les perturbations se propagent dans le disque galactique.

Les dérivées jouent également un rôle crucial dans l'étude des lentilles gravitationnelles, où la lumière d'un objet distant est courbée par la gravité d'un objet massif entre celui-ci et l'observateur. L'équation de la lentille gravitationnelle, qui décrit la déviation angulaire de la lumière, est donnée par :

où α(θ) est l'angle de déviation, M est la masse de l'objet de la lentille, c est la vitesse de la lumière, DLS

est la distance entre la lentille et la source, DL

est la distance entre l'observateur et la lentille, et DS

est la distance entre l'observateur et la source. La dérivée de cette équation par rapport à la position permet de déterminer l'effet de lentille sur les images observées.

En conclusion, les fonctions dérivées sont des outils essentiels en astrophysique pour modéliser l'évolution stellaire et la dynamique des galaxies. Elles permettent d'analyser les taux de changement, d'étudier les variations spatiales et temporelles, et de formuler des théories mathématiques précises. En utilisant les dérivées, les astrophysiciens peuvent mieux comprendre les mécanismes dynamiques qui régissent l'univers et développer des modèles pour prédire l'évolution des étoiles et des galaxies. Les dérivées sont donc des outils indispensables pour l'analyse et la modélisation des processus astrophysiques.

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