Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

Maths Terminal Bac Pro 

Fonction dérivée : Cours ; Exercices et Corrigés

Cours ; Exercices et Corrigés sur la fonction dérivée :  ...............................................................................................................

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Exercices " partie.1" identiques à ceux de la page 2 et 3 du cours. "fonction dérivée ; nombre dérivé et coefficient directeur de la tangente":

Partie.1 Ex.1  👉  Sujet partie 1 Ex1  👉  Correction partie.1 Ex1  

Partie.1 Ex.2  👉  Sujet partie 1 Ex2  👉  Correction partie.1 Ex2

Partie.1 Ex.3  👉  Sujet partie 1 Ex3  👉  Correction partie.1 Ex3

Partie.1 Ex.4  👉  Sujet partie 1 Ex4  👉  Correction partie.1 Ex4 

Partie.1 Ex.5  👉  Sujet partie 1 Ex5  👉  Correction partie.1 Ex5

partie.1 Ex.6  👉  Sujet partie 1 Ex6  👉  Correction partie.1 Ex6

Partie.1 Ex.7  👉  Sujet partie 1 Ex7  👉  Correction partie.1 Ex7 

Partie.1 Ex.8  👉  Sujet partie 1 Ex8  👉  Correction partie.1 Ex8

Partie.1 Ex.9  👉  Sujet partie 1 Ex9  👉  Correction partie.1 Ex9 

Partie.1 Ex.10  👉  Sujet partie 1 Ex10  👉  Correction partie.1 Ex10

Partie.1 Ex.11  👉  Sujet partie 1 Ex11  👉  Correction partie.1 Ex11 

Partie.1 Ex.12  👉  Sujet partie 1 Ex12  👉  Correction partie.1 Ex12

Partie.1 Ex.13  👉  Sujet partie 1 Ex13  👉  Correction partie.1 Ex13 

Partie.1 Ex.14  👉  Sujet partie 1 Ex14  👉  Correction partie.1 Ex14 

Partie.1 Ex.15  👉  Sujet partie 1 Ex15  👉  Correction partie.1 Ex15 

Partie.1 Ex.16  👉  Sujet partie 1 Ex16  👉  Correction partie.1 Ex16 

Partie.1 Ex.17  👉  Sujet partie 1 Ex17  👉  Correction partie.1 Ex17 

Partie.1 Ex.18  👉  Sujet partie 1 Ex18  👉  Correction partie.1 Ex18  

Exercices " partie.2" identiques à ceux de la page 5 et application exemple1 du cours , " Construire le tableau de variation d'une fonction de second degré sans graphique":

Partie.2 Ex.1  👉 Sujet partie.2 Ex1 👉 Correction partie.2 Ex1

Partie.2 Ex.2   👉 Sujet partie.2 Ex2 👉 Correction partie.2 Ex2

Partie.2 Ex.3  👉 Sujet partie.2 Ex3 👉 Correction partie.2 Ex3

Partie.2 Ex.4  👉 Sujet partie.2 Ex4 👉 Correction partie.2 Ex4

Partie.2 Ex.5  👉 Sujet partie.2 Ex5 👉 Correction partie2 Ex5

Partie.2 Ex.6   👉 Sujet partie.2 Ex6 👉 Correction partie.2 Ex6

Partie.2 Ex.7   👉 Sujet partie.2 Ex7 👉 Correction partie.2 Ex7

Exercices " partie.3" identiques à celui de la page 7 , " Construire le tableau de variation d'une fonction de 3éme degré sans graphique":

Partie.3 Ex.1  👉 Sujet partie.3 Ex1 👉 Correction partie.3 Ex1

Partie.3 Ex.2  👉 Sujet partie.3 Ex2 👉 Correction partie.3 Ex2

Partie.3 Ex.3  👉 Sujet partie.3 Ex3 👉 Correction partie.3 Ex3

Partie.3 Ex.4  👉 Sujet partie.3 Ex4 👉 Correction partie.3 Ex4

Partie.3 Ex.5  👉 Sujet partie.3 Ex5 👉 Correction partie.3 Ex5

Partie.3 Ex.6  👉 Sujet partie.3 Ex6 👉 Correction partie.3 Ex6

Partie.3 Ex.7  👉 Sujet partie.3 Ex7 👉 Correction partie.3 Ex7

Partie.3 Ex.8  👉 Sujet partie.3 Ex8 👉 Correction partie.3 Ex8

Partie.3 Ex.9  👉 Sujet partie.3 Ex9 👉 Correction partie.3 Ex9

Partie.3 Ex.10  👉 Sujet partie.3 Ex10 👉 Correction partie.3 Ex10.

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La dérivée d'une fonction est une mesure de la variation instantanée de cette fonction par rapport à sa variable indépendante.

Alors f'(x) est appelée la fonction dérivée de la fonction f(x) par rapport à x.

La fonction dérivée f'(x) est une nouvelle fonction.

�′(�)=lim⁡ℎ→0�(�+ℎ)−�(�)ℎ

La fonction dérivée est utilisée pour de nombreuses applications en mathématiques et en sciences, notamment pour la modélisation des taux de changement, l'optimisation de fonctions, l'analyse des courbes et la résolution de problèmes dans les domaines de la physique, de l'économie et de l'ingénierie, entre autres.

Le nombre dérivée d'une fonction $�(�)$ en un point $�$ correspond à la pente de la tangente au graphique de la fonction à ce point noté : f'(xA) .

Le nombre dérivée d'une fonction f(x) en un point
d'abscisse xA est le coefficient directeur de la tangente (y = ax + b ) à la courbe au point considéré: f'(xA) = a

La fonction dérivée est un concept fondamental en analyse mathématique, qui mesure le taux de variation d’une fonction par rapport à une variable. En termes simples, la dérivée d’une fonction f(x) à un point x mesure comment f(x) change lorsque x change légèrement. Cette notion est essentielle dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences appliquées, comme la physique, l'économie et l'ingénierie.

La dérivée d’une fonction f(x) en un point x est définie comme la limite du taux de variation moyen de la fonction lorsque l’intervalle de variation tend vers zéro. Mathématiquement, cela s’écrit comme suit :

${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)={\lim }_{\mathrm{\Delta }𝑥\to 0}\frac{𝑓(𝑥+\mathrm{\Delta }𝑥)-𝑓(𝑥)}{\mathrm{\Delta }𝑥}$

où f'(x) représente la dérivée de f(x) par rapport à x. Si cette limite existe, la fonction f est dite différentiable en x.

Interprétation Géométrique :

La dérivée d’une fonction en un point est la pente de la tangente à la courbe de la fonction en ce point. Si f(x) est une fonction continue et différentiable, alors la tangente à la courbe y = f(x) au point (x, f(x)) a une pente de f'(x). Une dérivée positive indique que la fonction est croissante à ce point, tandis qu’une dérivée négative indique qu’elle est décroissante.

Exemples de Dérivées :

1. Pour une fonction linéaire f(x) = ax + b, la dérivée est constante et égale à a, car la pente d’une ligne droite est la même en tout point.
2. Pour une fonction quadratique f(x) = ax² + bx + c, la dérivée est f'(x) = 2ax + b. Cela montre que la pente change linéairement avec x.

Règles de Dérivation : Il existe plusieurs règles de base pour calculer les dérivées de fonctions complexes à partir de fonctions simples :

• Règle de la somme : La dérivée de la somme de deux fonctions est la somme de leurs dérivées. $(𝑓+𝑔{)}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)={𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)+{𝑔}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)$
• Règle du produit : La dérivée du produit de deux fonctions est donnée par : $(𝑓𝑔{)}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)={𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥){𝑔}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)$
• Règle du quotient : La dérivée du quotient de deux fonctions est : ${\left(\frac{𝑓}{𝑔}\right)}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=\frac{{𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)𝑔(𝑥)-𝑓(𝑥){𝑔}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)}{[𝑔(𝑥){]}^2}$
• Règle de la chaîne : Pour une fonction composée f(g(x)), la dérivée est : $(𝑓\circ 𝑔{)}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)={𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑔(𝑥))\cdot {𝑔}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)$

Applications :

La dérivée a de nombreuses applications pratiques. En physique, elle est utilisée pour déterminer la vitesse et l’accélération, qui sont les dérivées de la position et de la vitesse par rapport au temps, respectivement. En économie, elle permet d’analyser les coûts marginaux et les revenus marginaux, qui sont des dérivées des fonctions de coût total et de revenu total.

Fonctions de Dérivées Supérieures :

La dérivée seconde d’une fonction est la dérivée de la dérivée première, notée f''(x). Elle donne des informations sur la concavité de la fonction : si f''(x) > 0, la fonction est concave vers le haut (convexe), et si f''(x) < 0, elle est concave vers le bas (concave).

Les dérivées supérieures d'une fonction jouent un rôle crucial dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences appliquées. Elles fournissent des informations plus détaillées sur le comportement des fonctions, allant au-delà de ce que la simple dérivée première peut révéler. Les dérivées supérieures sont utilisées pour analyser les courbes, étudier la dynamique des systèmes physiques, optimiser des fonctions, et résoudre des équations différentielles complexes.

Concept des Dérivées Supérieures

La dérivée première d'une fonction mesure le taux de variation instantané de la fonction. Les dérivées supérieures, en revanche, sont obtenues en dérivant la fonction plusieurs fois successivement. La deuxième dérivée mesure le taux de variation de la dérivée première, fournissant des informations sur la concavité de la fonction. La troisième dérivée, quant à elle, mesure le taux de variation de la deuxième dérivée, et ainsi de suite.

Applications des Dérivées Supérieures

1. Analyse des Courbes : Les dérivées supérieures sont essentielles pour comprendre la forme et le comportement des courbes. Par exemple, la deuxième dérivée aide à identifier les points d'inflexion, où la courbure de la fonction change de signe. Ces points sont cruciaux pour comprendre la topologie de la courbe et sont utilisés en géométrie et en design graphique.

2. Optimisation : En optimisation, les dérivées supérieures aident à déterminer la nature des points critiques. La deuxième dérivée, via le test de la dérivée seconde, permet de distinguer entre les maxima, les minima et les points de selle. Les dérivées d'ordre supérieur peuvent également être utilisées pour des tests plus sophistiqués dans des contextes où la deuxième dérivée n'est pas concluante.

3. Équations Différentielles : Les dérivées supérieures sont fondamentales dans la résolution des équations différentielles, qui modélisent des phénomènes variés en physique, en ingénierie et en économie. Les équations différentielles d'ordre supérieur décrivent des systèmes plus complexes, comme les oscillations en mécanique ou les circuits en électronique.

4. Séries de Taylor : Les dérivées supérieures sont utilisées pour développer les séries de Taylor, qui approchent une fonction par une somme infinie de termes polynomiaux. Ces séries sont extrêmement utiles en analyse numérique et en modélisation, permettant d'estimer les valeurs de fonctions complexes de manière précise.

Interprétation Physique

Dans les sciences physiques, les dérivées supérieures ont des interprétations concrètes. Par exemple, en mécanique classique, la première dérivée de la position d'un objet par rapport au temps est sa vitesse, la deuxième dérivée est son accélération, et la troisième dérivée, parfois appelée "à-coup", mesure la variation de l'accélération. Ces concepts sont essentiels pour décrire et prévoir le mouvement des objets.

Limitations et Complexité

Malgré leur utilité, les dérivées supérieures peuvent devenir de plus en plus compliquées à calculer et interpréter à mesure que leur ordre augmente. Les erreurs de calcul peuvent également s'accumuler, surtout dans les applications numériques. De plus, pour certaines fonctions, les dérivées supérieures peuvent ne pas exister ou être difficiles à exprimer en termes simples, limitant ainsi leur application pratique.

Conclusion

Les dérivées supérieures enrichissent notre compréhension des fonctions et des systèmes qu'elles modélisent. Elles permettent une analyse plus fine et plus détaillée, cruciale dans de nombreux domaines scientifiques et techniques. Bien qu'elles présentent des défis en termes de calcul et d'interprétation, leur capacité à fournir des informations profondes et utiles en fait des outils indispensables en mathématiques et en sciences appliquées.

Dérivée et Optimisation : La dérivée est également utilisée pour trouver les points critiques d’une fonction, c’est-à-dire les points où la fonction atteint un maximum ou un minimum local. Ces points sont trouvés en résolvant l’équation f'(x) = 0. En analysant la dérivée seconde en ces points critiques, on peut déterminer la nature de ces points : un maximum local si f''(x) < 0, un minimum local si f''(x) > 0.

Conclusion : La fonction dérivée est un outil puissant qui permet de comprendre et d’analyser le comportement des fonctions. Elle fournit des informations sur la variation des fonctions, leurs tangentes, et leurs points critiques, et a des applications étendues dans divers domaines scientifiques et techniques

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