Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 1 Correction Ex.1

Fonction dérivée : Correction 

partie.1 : Ex.1

En utilisant le tableau de la fonction dérivée du cours ou de la fiche d’aide.
Calculer :
a.    la dérivée de la fonction : 

b.    le nombre dérivé  "  f '(x_A)"  au point A d’abscisse : 
                            x_A =  –5  ;  3  et  8. 
c.    le coefficient directeur   "  a  "  de la tangente 

       (y = ax+b) point A d’abscisse :   
                          x_A =  –5  ;  3  et  8.      👉   a = f '(x_A) 

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Réponse 

 a.     la dérivée de la fonction :

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Fonction dérivée en Physique : Pour décrire la vitesse et l'accélération

En physique, la notion de dérivée est essentielle pour décrire et comprendre les concepts de vitesse et d'accélération. Ces deux quantités sont fondamentales dans l'étude du mouvement des objets, et leur compréhension permet de modéliser et de prédire une grande variété de phénomènes physiques.

Commençons par la position d'un objet en mouvement, souvent décrite par une fonction de la position 𝑥(𝑡) en fonction du temps 𝑡. La vitesse d'un objet est définie comme le taux de variation de sa position par rapport au temps. En termes mathématiques, la vitesse 𝑣(𝑡) est la dérivée première de la position 𝑥(𝑡) par rapport au temps :

$𝑣(𝑡)=\frac{𝑑𝑥(𝑡)}{𝑑𝑡}$

Cette relation nous indique que la vitesse est une mesure de la rapidité avec laquelle la position d'un objet change au fil du temps. Une vitesse positive signifie que l'objet se déplace dans la direction positive de l'axe de position, tandis qu'une vitesse négative indique un mouvement dans la direction opposée.

La vitesse elle-même peut varier dans le temps, et cette variation est décrite par une autre dérivée. L'accélération d'un objet est définie comme le taux de variation de la vitesse par rapport au temps. En termes mathématiques, l'accélération 𝑎(𝑡) est la dérivée première de la vitesse 𝑣(𝑡), ou équivalemment, la dérivée seconde de la position 𝑥(𝑡) :

$𝑎(𝑡)=\frac{𝑑𝑣(𝑡)}{𝑑𝑡}=\frac{{𝑑}^2𝑥(𝑡)}{𝑑{𝑡}^2}$

L'accélération mesure donc comment la vitesse d'un objet change au fil du temps. Une accélération positive signifie que la vitesse de l'objet augmente, tandis qu'une accélération négative (ou décélération) indique que la vitesse diminue.

Pour mieux comprendre ces concepts, examinons quelques exemples concrets.

Supposons qu'un objet se déplace en ligne droite avec une position décrite par la fonction $𝑥(𝑡)=5{𝑡}^2$. La vitesse de cet objet est obtenue en différentiant la position par rapport au temps :

$𝑣(𝑡)=\frac{𝑑}{𝑑𝑡}(5{𝑡}^2)=10𝑡$

Ainsi, la vitesse de l'objet augmente linéairement avec le temps. Pour obtenir l'accélération, nous différencions la vitesse :

 $𝑎(𝑡)=\frac{𝑑}{𝑑𝑡}(10𝑡)=10$

Dans ce cas, l'accélération est constante et égale à 10 unités de position par unité de temps au carré. Cela signifie que l'objet subit une accélération constante, ce qui est typique d'un mouvement sous l'influence d'une force constante, comme la gravité en chute libre (en l'absence de résistance de l'air).

Examinons maintenant un autre exemple où la position de l'objet est donnée par une fonction plus complexe, par exemple $𝑥(𝑡)=3{𝑡}^3-2{𝑡}^2+4𝑡$. La vitesse est la dérivée de cette position :

$𝑣(𝑡)=\frac{𝑑}{𝑑𝑡}(3{𝑡}^3-2{𝑡}^2+4𝑡)=9{𝑡}^2-4𝑡+4$

La vitesse varie donc de manière quadratique par rapport au temps. En différentiant cette expression, nous obtenons l'accélération : 

$𝑎(𝑡)=\frac{𝑑}{𝑑𝑡}(9{𝑡}^2-4𝑡+4)=18𝑡-4$

L'accélération n'est plus constante dans ce cas ; elle dépend linéairement du temps, indiquant que la force agissant sur l'objet change avec le temps. 

La compréhension de la relation entre position, vitesse et accélération est cruciale pour analyser et prédire le mouvement des objets. Ces concepts sont également applicables à des situations plus complexes et à des systèmes plus sophistiqués.

Par exemple, en physique, les lois du mouvement de Newton utilisent ces notions de dérivée pour formuler les principes fondamentaux du mouvement. La deuxième loi de Newton stipule que la force agissant sur un objet est égale à la masse de cet objet multipliée par son accélération : $\mathbf{𝐹}=𝑚\mathbf{𝑎}$

Cette relation montre clairement l'importance de l'accélération dans la dynamique des objets. En connaissant la force agissant sur un objet, on peut déterminer son accélération, puis en intégrant cette accélération, on peut trouver la vitesse et la position de l'objet au fil du temps.

Les dérivées sont également essentielles pour comprendre les mouvements oscillatoires, tels que ceux observés dans les systèmes de ressorts et de pendules. Par exemple, la position d'un pendule simple peut être décrite par une fonction sinusoidale, et la vitesse et l'accélération du pendule sont obtenues par différentiation de cette fonction. Si la position est donnée par $𝑥(𝑡)=𝐴\cos (𝜔𝑡+𝜙)$, où $𝐴$ est l'amplitude, $𝜔$ la fréquence angulaire, et $𝜙$ la phase initiale, alors la vitesse est :

$(𝑡)=\frac{𝑑}{𝑑𝑡}(𝐴\cos (𝜔𝑡+𝜙))=-𝐴𝜔\sin (𝜔𝑡+𝜙)$

et l'accélération est :

$𝑎(𝑡)=\frac{𝑑}{𝑑𝑡}(-𝐴𝜔\sin (𝜔𝑡+𝜙))=-𝐴{𝜔}^2\cos (𝜔𝑡+𝜙)$

Dans ce cas, l'accélération est proportionnelle à la position, mais opposée en direction, ce qui est caractéristique des mouvements harmoniques simples.

Les dérivées sont également utilisées pour décrire les mouvements dans des systèmes plus complexes, tels que les fluides et les champs électromagnétiques. En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes, qui décrivent le mouvement des fluides, impliquent des dérivées partielles par rapport au temps et aux coordonnées spatiales. De même, les équations de Maxwell, qui décrivent les champs électromagnétiques, utilisent des dérivées pour relier les champs électriques et magnétiques aux charges et courants.

En résumé, les dérivées jouent un rôle crucial en physique pour décrire et analyser les concepts de vitesse et d'accélération. En différentiant la position d'un objet, on obtient sa vitesse, et en différentiant la vitesse, on obtient son accélération. Ces quantités permettent de comprendre et de prédire le comportement des objets en mouvement, qu'ils soient soumis à des forces constantes ou variables. Que ce soit pour des objets en chute libre, des systèmes oscillatoires ou des fluides en mouvement, les dérivées fournissent les outils mathématiques nécessaires pour modéliser une vaste gamme de phénomènes physiques.

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