Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 1 Correction Ex.17

Fonction dérivée : Correction 

partie.1 : Ex.17

En utilisant le tableau de la fonction dérivée du cours ou de la fiche d’aide.
Calculer :
a.    la dérivée de la fonction : 

b.    le nombre dérivé  "  f '(x_A)"  au point A d’abscisse : 
                            x_A =  –5  ;  3  et  8. 
c.    le coefficient directeur   "  a  "  de la tangente 

       (y = ax+b) point A d’abscisse :   
                          x_A =  –5  ;  3  et  8.      👉   a = f '(x_A) 

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Réponse 

 a.     la dérivée de la fonction :

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Fonction dérivée en Économie comportementale : Analyse des décisions économiques

L'économie comportementale est un domaine qui combine les idées de la psychologie et de l'économie pour mieux comprendre comment les individus prennent des décisions économiques. Les fonctions dérivées jouent un rôle crucial dans l'analyse de ces décisions en permettant de modéliser et de quantifier les comportements humains face à divers stimuli économiques. Cet essai explore l'utilisation des fonctions dérivées dans l'économie comportementale, illustrant comment elles permettent de mieux comprendre et prévoir les choix économiques des individus.

L'une des applications clés des fonctions dérivées en économie comportementale est l'analyse des préférences et des choix. Les économistes comportementaux utilisent souvent la notion d'utilité marginale, qui représente la satisfaction supplémentaire qu'un individu obtient de la consommation d'une unité supplémentaire d'un bien ou d'un service. L'utilité U(x) d'un bien x peut être modélisée et la dérivée première U′(x) exprime l'utilité marginale :

​

où U(x) est la fonction d'utilité. Cette dérivée montre comment l'utilité change avec la consommation d'un bien supplémentaire. En économie comportementale, cette analyse permet de comprendre pourquoi les individus peuvent être plus enclins à consommer certains biens à des niveaux spécifiques, éclairant les politiques de prix et les stratégies de marketing.

La loi de la demande est un concept fondamental en économie qui peut être analysé à travers les dérivées. Selon cette loi, la quantité demandée d'un bien diminue généralement à mesure que le prix augmente, toutes choses étant égales par ailleurs. La fonction de demande Q(p) dépend du prix p et sa dérivée première Q′(p) représente l'élasticité-prix de la demande :

​

Cette dérivée montre comment la quantité demandée change en réponse aux variations de prix. En économie comportementale, on utilise souvent cette analyse pour examiner les comportements irrationnels ou les biais cognitifs qui peuvent amener les consommateurs à réagir différemment aux changements de prix, contrairement aux prédictions de la théorie économique classique.

Un autre domaine d'application des fonctions dérivées en économie comportementale est l'étude de l'aversion au risque et des choix sous incertitude. L'utilité espérée est une théorie couramment utilisée pour modéliser ces choix. Si un individu doit choisir entre des loteries avec des probabilités pi​ et des gains xi​, l'utilité espérée E(U) est donnée par :

La dérivée de cette fonction, E′(U), permet d'analyser la sensibilité de l'utilité espérée par rapport aux changements dans les probabilités ou les gains. En étudiant ces dérivées, les économistes comportementaux peuvent mieux comprendre comment les individus perçoivent le risque et prennent des décisions en situation d'incertitude, mettant en lumière des comportements comme l'aversion ou la recherche du risque.

L'économie comportementale s'intéresse également à la théorie des perspectives, développée par Kahneman et Tversky, qui décrit comment les individus évaluent les pertes et les gains de manière asymétrique. La fonction de valeur V(x) dans cette théorie est généralement concave pour les gains et convexe pour les pertes, reflétant une aversion plus forte pour les pertes que pour des gains équivalents. La dérivée de cette fonction, V′(x), peut être utilisée pour quantifier cette aversion :

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où V(x) représente la valeur perçue. Cette dérivée montre comment la perception de la valeur change avec les gains ou les pertes, et elle aide à expliquer des comportements économiques irrationnels, tels que le fait que les individus peuvent être plus enclins à éviter les pertes qu'à chercher des gains, même lorsque les deux options sont économiquement équivalentes.

En modélisation du comportement du consommateur, les fonctions dérivées sont utilisées pour analyser les effets de la publicité et des autres stimuli externes sur les décisions d'achat. Par exemple, la fonction de réponse publicitaire R(A), où A représente le niveau de publicité, peut être dérivée pour déterminer l'impact marginal de la publicité sur les ventes :

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Cette dérivée indique l'augmentation des ventes pour chaque unité supplémentaire de publicité. En comprenant cette relation, les économistes comportementaux peuvent aider les entreprises à optimiser leurs budgets publicitaires et à concevoir des campagnes plus efficaces.

Les fonctions dérivées sont également cruciales dans l'analyse des incitations et des récompenses. Par exemple, la théorie des contrats utilise des dérivées pour modéliser comment les incitations financières affectent les performances des employés. Si P(w) est la performance d'un employé en fonction de la rémunération w, la dérivée P′(w) représente la réactivité de la performance à la rémunération :

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Cette dérivée montre comment une augmentation de la rémunération influence la performance de l'employé. Les résultats de cette analyse peuvent informer la conception de systèmes de rémunération qui alignent les intérêts des employés et des employeurs, optimisant ainsi la productivité et la satisfaction au travail.

Un autre exemple pertinent est l'analyse des décisions intertemporelles, où les individus doivent choisir entre des récompenses immédiates et différées. La fonction de discount D(t), qui représente la valeur actuelle d'une récompense future reçue au temps t, est souvent utilisée pour modéliser ces décisions. La dérivée D′(t) permet de comprendre comment la valeur perçue change avec le temps :

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En étudiant cette dérivée, les économistes comportementaux peuvent examiner des phénomènes comme la préférence pour la gratification immédiate, même lorsqu'attendre serait économiquement plus avantageux. Cette analyse aide à concevoir des politiques et des interventions pour encourager des comportements financiers plus responsables et à long terme.

Enfin, les fonctions dérivées sont essentielles dans l'étude des comportements d'épargne et d'investissement. La fonction d'épargne S(Y) en fonction du revenu Y peut être dérivée pour analyser l'épargne marginale, c'est-à-dire la proportion de chaque unité supplémentaire de revenu qui est épargnée :

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Cette dérivée montre comment les variations du revenu influencent les décisions d'épargne. En combinant cette analyse avec des insights comportementaux, les économistes peuvent mieux comprendre pourquoi certaines personnes épargnent moins que ce que prédisent les modèles économiques traditionnels, et concevoir des politiques pour encourager une épargne suffisante pour la retraite ou d'autres objectifs financiers à long terme.

En conclusion, les fonctions dérivées sont des outils puissants dans l'économie comportementale pour modéliser et analyser les décisions économiques des individus. Elles permettent de quantifier les taux de changement et les sensibilités des comportements économiques face à divers stimuli, offrant des insights profonds sur les préférences, les choix sous incertitude, l'impact de la publicité, les incitations, et les décisions intertemporelles. En combinant ces outils mathématiques avec une compréhension des biais cognitifs et des motivations psychologiques, l'économie comportementale offre une perspective plus riche et plus réaliste sur la prise de décision économique, informant ainsi les politiques publiques, les stratégies de marketing, et la gestion des ressources humaines.

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