Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 1 Correction Ex.13

Fonction dérivée : Correction 
partie.1 : Ex.13

En utilisant le tableau de la fonction dérivée du cours ou de la fiche d’aide.
Calculer :
a.    la dérivée de la fonction : 
                    
b.   le nombre dérivé  "  f '(x_A)"  au point A d’abscisse : 
                                x_A =  0  ;  4  et  9. 
c.    le coefficient directeur   "  a  "  de la tangente (y = ax+b) point A d’abscisse :   
                            x_A =  0  ;  4  et  9   👉   a = f '(x_A)

...............................................................................................................................

Réponse 

 a.     la dérivée de la fonction :

..............................................................................................................

Voir  Cours    👉 Cours à trous      👉  Cours complété

Voir  Fiche d'aide    👉 Fiche d'aide

Revenir à la page de choix de l'exercice   👉 Choix d'un exercice

Passer à la partie 1 Ex.14   👉   Sujet partie 1 Ex14

..............................................................................................................

Fonction dérivée en Géographie : Modélisation des changements géographiques

La géographie est un domaine multidisciplinaire qui étudie les caractéristiques physiques de la Terre ainsi que les interactions humaines avec ces caractéristiques. La modélisation des changements géographiques est une tâche complexe nécessitant une compréhension approfondie des dynamiques spatiales et temporelles. Les fonctions dérivées jouent un rôle crucial dans cette modélisation, permettant de quantifier les taux de changement et de prédire les évolutions futures des paysages, des écosystèmes et des infrastructures humaines. Cet essai explore comment les dérivées sont utilisées en géographie pour modéliser les changements géographiques, en intégrant des concepts clés et des formules mathématiques.

La dérivée première mesure le taux de changement d'une variable par rapport à une autre. En géographie, cela peut se traduire par le changement de l'altitude par rapport à la distance, le changement de la population par rapport au temps, ou le changement de la couverture forestière par rapport à une région donnée. Considérons d'abord un exemple simple lié à la topographie : le gradient d'altitude. Si z représente l'altitude en fonction de la position x sur une ligne droite, la dérivée de z par rapport à x, notée:

nous donne le taux de changement d'altitude, ou le gradient :

Un gradient positif indique une montée, tandis qu'un gradient négatif indique une descente. En géographie, cette information est cruciale pour comprendre la morphologie du terrain et pour diverses applications telles que la planification des infrastructures et la gestion des ressources naturelles.

Un autre domaine important où les dérivées sont appliquées est l'analyse des dynamiques de population. La croissance de la population dans une région donnée peut être modélisée par une fonction P(t), où P est la population et t est le temps. La dérivée de cette fonction par rapport au temps, notée :

représente le taux de croissance de la population :

où k est une constante représentant le taux de croissance relatif. Cette équation différentielle, connue sous le nom de modèle de croissance exponentielle, a pour solution :

où $P_0$ est la population initiale. Ce modèle est utilisé pour prévoir les tendances de croissance démographique, identifier les besoins futurs en infrastructures et services, et élaborer des politiques de gestion de la population.

La modélisation des changements géographiques nécessite également une compréhension des processus naturels tels que l'érosion et la sédimentation. L'érosion du sol peut être modélisée en fonction de divers facteurs comme la précipitation, le type de sol, la végétation et l'inclinaison du terrain. Supposons que E(t) représente la quantité de sol érodé au cours du temps t, la dérivée de cette fonction par rapport au temps:

donne le taux d'érosion :

où P représente la précipitation, S le type de sol, V la couverture végétale et θ l'inclinaison du terrain. En utilisant cette relation, les géographes peuvent évaluer l'impact des changements climatiques et des pratiques agricoles sur l'érosion des sols et développer des stratégies pour la conservation des sols.

L'étude des changements géographiques implique souvent l'analyse des flux de matière et d'énergie à travers des paysages. Par exemple, les écologistes s'intéressent aux flux de nutriments dans les écosystèmes, tandis que les hydrologues étudient les flux d'eau dans les bassins versants. La dérivée joue un rôle essentiel dans la modélisation de ces flux. Prenons l'exemple du débit d'un fleuve Q en fonction du temps t. Si Q(t) représente le débit instantané du fleuve, la dérivée de Q par rapport au temps:

indique comment le débit change au fil du temps. Cette information est essentielle pour prévoir les crues, gérer les ressources en eau et planifier les infrastructures hydrauliques.

Les modèles de changement d'occupation des sols sont également un domaine clé où les dérivées sont appliquées. Les changements dans l'occupation des sols peuvent être modélisés en fonction de divers facteurs tels que la croissance urbaine, l'expansion agricole et les politiques environnementales. Supposons que L(t) représente la surface occupée par une certaine utilisation des sols (par exemple, les terres agricoles) au cours du temps, la dérivée :

indique le taux de changement de cette surface. Les modèles basés sur les dérivées peuvent intégrer des données géospatiales pour prévoir comment l'utilisation des sols évoluera en réponse aux changements économiques et environnementaux.

La gestion des ressources naturelles repose également sur l'utilisation des dérivées pour modéliser les stocks et les flux de ressources. Par exemple, la gestion des forêts implique de comprendre le taux de croissance des arbres et le taux de récolte du bois. Si F(t) représente la biomasse forestière à un moment donné, la dérivée:

donne le taux de changement de la biomasse, prenant en compte la croissance naturelle et les activités de récolte. Ce modèle aide les gestionnaires à élaborer des plans de récolte durables et à évaluer l'impact des politiques de conservation.

Les dérivées sont également utilisées pour modéliser les impacts des changements climatiques sur les paysages géographiques. Les changements de température, de précipitation et d'autres variables climatiques influencent de nombreux processus géographiques. Par exemple, le retrait des glaciers peut être modélisé en fonction des variations de température. Si G(t) représente la superficie d'un glacier à un moment donné, la dérivée:

indique le taux de changement de la superficie du glacier, qui est fonction de la température moyenne T et d'autres facteurs climatiques :

En utilisant des modèles dérivés, les géographes peuvent prévoir la vitesse de fonte des glaciers et évaluer les impacts sur les ressources en eau et les écosystèmes.

La télédétection et les systèmes d'information géographique (SIG) fournissent des données précieuses pour la modélisation des changements géographiques. Les images satellites et les données géospatiales permettent de surveiller les changements de la couverture terrestre, de la végétation, des plans d'eau et des infrastructures urbaines. Les dérivées sont utilisées pour analyser ces données et détecter les tendances de changement. Par exemple, en comparant des images satellites prises à différents moments, on peut calculer la dérivée temporelle de la couverture forestière pour détecter des tendances de déforestation ou de reforestation.

Enfin, les dérivées sont essentielles pour la modélisation des risques naturels tels que les glissements de terrain, les inondations et les éruptions volcaniques. La prévision de ces événements repose sur la compréhension des taux de changement des variables géophysiques. Par exemple, la modélisation des glissements de terrain peut nécessiter l'analyse du taux de changement de la saturation en eau du sol et de la stabilité des pentes. Les dérivées permettent de quantifier ces taux de changement et d'identifier les conditions critiques pouvant déclencher des glissements de terrain.

En conclusion, les fonctions dérivées jouent un rôle crucial dans la modélisation des changements géographiques. Elles permettent de quantifier les taux de changement, de prévoir les évolutions futures et de développer des stratégies de gestion durable des ressources et des paysages. En utilisant les dérivées, les géographes peuvent mieux comprendre les dynamiques complexes des systèmes naturels et humains, et contribuer à des solutions innovantes pour les défis environnementaux et sociaux contemporains. Cette compréhension approfondie est essentielle pour une gestion efficace des territoires et pour la préservation de l'environnement face aux changements rapides induits par les activités humaines et les variations climatiques.

..............................................................................................................

Voir  Cours    👉 Cours à trous      👉  Cours complété

Voir  Fiche d'aide    👉 Fiche d'aide

Revenir à la page de choix de l'exercice   👉 Choix d'un exercice

Passer à la partie 1 Ex.14   👉   Sujet partie 1 Ex14

..............................................................................................................

Modifier l'article