Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 1 Exercice 14

Fonction dérivée : Sujet 
partie.1 : Ex.14

En utilisant le tableau de la fonction dérivée du cours ou de la fiche d’aide.
Calculer :
a.    la dérivée de la fonction : 

b.    le nombre dérivé  "  f '(x_A)"  au point A d’abscisse : 
                                x_A =  0  ;  4  et  9. 
c.    le coefficient directeur   "  a  "  de la tangente (y = ax+b) point A d’abscisse :   
                            x_A =  0  ;  4  et  9   👉   a = f '(x_A)

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Fonction dérivée en Statistique appliquée : Régression et analyse des tendances

La statistique appliquée utilise de nombreux outils mathématiques pour analyser et interpréter des données. Parmi ces outils, les fonctions dérivées jouent un rôle crucial, notamment dans les méthodes de régression et d'analyse des tendances. Ces techniques sont essentielles pour modéliser les relations entre les variables, prédire les valeurs futures et comprendre les dynamiques sous-jacentes dans des ensembles de données complexes. Cet essai explore l'application des fonctions dérivées en statistique appliquée, en se concentrant sur la régression et l'analyse des tendances, tout en intégrant des concepts clés et des formules mathématiques.

La régression est une méthode statistique utilisée pour modéliser la relation entre une variable dépendante et une ou plusieurs variables indépendantes. La régression linéaire simple est l'un des modèles les plus courants et les plus fondamentaux. Supposons que nous avons un ensemble de données avec une variable indépendante x et une variable dépendante y. La régression linéaire simple cherche à ajuster une ligne droite, y=mx+b, qui minimise la somme des carrés des résidus (les différences entre les valeurs observées et les valeurs prédites).

Pour trouver les coefficients m (la pente) et b (l'ordonnée à l'origine), nous utilisons la méthode des moindres carrés. La fonction de coût à minimiser est :

Pour minimiser $S$, nous prenons les dérivées partielles de $S$ par rapport à $m$ et $b$ et les égalons à zéro :

Ces équations peuvent être résolues simultanément pour obtenir les valeurs optimales de m et b. En résolvant ces équations, nous obtenons :

​​

Ces formules permettent de déterminer la ligne de régression qui minimise les erreurs et offre la meilleure estimation des relations linéaires entre x et y.

La dérivée joue également un rôle crucial dans la régression non linéaire, où les relations entre les variables ne peuvent pas être décrites par une ligne droite. Dans de tels cas, les modèles non linéaires tels que les polynômes, les exponentielles ou les logarithmes peuvent être utilisés. Considérons un modèle polynomial de degré k :

Pour ajuster ce modèle aux données, nous devons minimiser la somme des carrés des résidus de manière similaire à la régression linéaire. Cependant, les dérivées partielles à prendre en compte seront plus complexes en raison des termes polynomiaux supplémentaires.

L'analyse des tendances est une autre application importante des fonctions dérivées en statistique appliquée. Elle permet de détecter et de quantifier les tendances à long terme dans les séries chronologiques. Supposons que nous avons une série chronologique y(t), où t représente le temps. Une manière courante de modéliser les tendances est d'utiliser des modèles de régression linéaire ou non linéaire, comme mentionné précédemment. Cependant, pour une analyse plus détaillée, nous pouvons utiliser les dérivées pour étudier les taux de changement de ces tendances.

La dérivée première de $y(t)$ par rapport au temps:

nous donne le taux de changement instantané de y. Si cette dérivée est positive, la tendance est à la hausse ; si elle est négative, la tendance est à la baisse. Pour les séries chronologiques avec des tendances non linéaires, la dérivée seconde:

peut fournir des informations sur la concavité de la courbe de tendance, indiquant si la tendance est en accélération ou en décélération.

En statistique, les dérivées sont également utilisées dans le cadre des modèles de régression logistique, qui sont couramment appliqués lorsque la variable dépendante est binaire (par exemple, succès/échec). Le modèle de régression logistique peut être exprimé comme suit :

où $p$ est la probabilité de succès et $\beta_0$, $\beta_1$ sont les coefficients du modèle. 

Pour estimer ces coefficients, nous utilisons la méthode du maximum de vraisemblance, qui implique la maximisation de la fonction de vraisemblance. La fonction de vraisemblance L est donnée par :

​

Pour maximiser $L$, nous prenons les dérivées partielles de $\ln(L)$ par rapport à $\beta_0$ et $\beta_1$ et les égalons à zéro :

Ces équations peuvent être résolues pour obtenir les estimations des coefficients de régression logistique, permettant de modéliser et de prédire les probabilités d'événements binaires.

Les dérivées jouent un rôle essentiel dans les techniques de lissage, qui sont utilisées pour atténuer les fluctuations dans les données et révéler les tendances sous-jacentes. Ces techniques sont largement employées dans des domaines tels que l'économie, la finance, la météorologie et les sciences sociales pour analyser des séries temporelles et obtenir des prévisions plus précises.

Objectif des Techniques de Lissage

Le principal objectif des techniques de lissage est de réduire la variabilité des données brutes pour faire ressortir les tendances générales. Cela est particulièrement utile lorsqu'on travaille avec des données bruyantes ou volatiles. En atténuant les fluctuations aléatoires, les analystes peuvent mieux comprendre les comportements et les tendances à long terme des phénomènes étudiés.

Rôle des Dérivées

Les dérivées sont fondamentales pour les techniques de lissage car elles permettent de quantifier la variation instantanée des données. En examinant les dérivées d'une série temporelle, on peut identifier et filtrer les fluctuations rapides, en se concentrant sur les changements plus lents et significatifs. Les dérivées aident à ajuster les modèles de lissage pour qu'ils captent mieux les tendances sans être influencés par les variations aléatoires de courte durée.

Méthodes de Lissage

1. Moyennes Mobiles : Cette méthode calcule la moyenne des valeurs sur une fenêtre glissante de données. Les dérivées aident à déterminer la taille optimale de cette fenêtre, en équilibrant la réduction du bruit et la préservation des tendances. Une fenêtre trop large peut lisser excessivement les données, tandis qu'une fenêtre trop étroite peut ne pas atténuer suffisamment le bruit.

2. Lissage Exponentiel : Le lissage exponentiel attribue des poids décroissants aux observations passées, les observations récentes ayant plus d'importance. Les dérivées sont utilisées pour ajuster le paramètre de lissage afin de capturer efficacement les tendances. Cette méthode est particulièrement utile pour les séries temporelles avec des variations saisonnières ou des tendances changeantes.

3. Spline de Lissage : Les splines sont des fonctions qui sont ajustées aux données pour minimiser l'erreur globale tout en assurant une certaine douceur. Les dérivées de ces splines aident à déterminer où et comment ajuster les courbes pour mieux représenter les tendances sous-jacentes, en équilibrant la fidélité aux données et la lissage de la courbe.

Applications Pratiques

1. Prévisions Économiques : Les techniques de lissage sont cruciales pour analyser les indicateurs économiques tels que le PIB, l'inflation, et les taux de chômage. En utilisant les dérivées pour affiner les modèles de lissage, les économistes peuvent mieux prévoir les cycles économiques et prendre des décisions informées.

2. Analyse Financière : Dans la finance, le lissage des séries temporelles de prix des actifs permet de détecter les tendances de marché et d'identifier les points d'inflexion potentiels. Les dérivées aident à optimiser les stratégies de trading en réduisant l'impact des fluctuations quotidiennes.

3. Météorologie : Les prévisions météorologiques reposent également sur des techniques de lissage pour filtrer le bruit des données collectées. En utilisant les dérivées, les météorologues peuvent affiner leurs modèles pour mieux prédire les conditions météorologiques futures.

Les dérivées sont également cruciales dans les techniques de lissage, telles que les moyennes mobiles et les splines, utilisées pour analyser les tendances et les variations saisonnières dans les données. Les splines cubiques, par exemple, sont utilisées pour ajuster une courbe lisse à travers un ensemble de points de données en minimisant une fonction de coût qui inclut une pénalité pour la courbure excessive. La fonction de coût typique est :

où $f(x)$ est la fonction spline, $\lambda$ est un paramètre de régularisation, et $f''(x)$ est la dérivée seconde de $f$. La minimisation de cette fonction de coût implique la résolution d'un système d'équations différentielles, garantissant que la courbe ajustée est aussi lisse que possible tout en suivant les tendances des données.

En résumé, les fonctions dérivées jouent un rôle central en statistique appliquée, particulièrement dans les méthodes de régression et l'analyse des tendances. Elles permettent de quantifier les taux de changement, de modéliser les relations complexes entre les variables et de prédire les comportements futurs des données. L'application des dérivées dans la régression linéaire, la régression non linéaire, la régression logistique et les techniques de lissage illustre leur importance pour extraire des informations significatives des données et pour prendre des décisions éclairées basées sur des analyses quantitatives robustes. Ces méthodes sont essentielles dans divers domaines, y compris l'économie, la biologie, l'ingénierie et les sciences sociales, démontrant ainsi l'universalité et la puissance des outils mathématiques en statistique appliquée.

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