Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 1 Correction Ex.15

Fonction dérivée : Correction 

partie.1 : Ex.15

En utilisant le tableau de la fonction dérivée du cours ou de la fiche d’aide.
Calculer :
a.    la dérivée de la fonction : 

b.    le nombre dérivé  "  f '(x_A)"  au point A d’abscisse : 
                                x_A =  –1  ;  2  et  5. 
c.    le coefficient directeur   "  a  "  de la tangente (y = ax+b) au point A d’abscisse :   

                            x_A =  –1  ;  2  et  5    👉   a = f '(x_A)

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Réponse 

 a.     la dérivée de la fonction :

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Fonction dérivée en Intelligence artificielle : Optimisation des fonctions de coût

L’intelligence artificielle (IA) est un domaine en pleine expansion qui vise à créer des systèmes capables de réaliser des tâches nécessitant des compétences humaines, comme la reconnaissance d’images, la compréhension du langage naturel, et la prise de décision. Un aspect fondamental de l’IA, et en particulier de l'apprentissage automatique (machine learning), est l’optimisation des fonctions de coût. Les fonctions dérivées jouent un rôle crucial dans cette optimisation, permettant aux algorithmes d’apprendre et de s’améliorer au fil du temps. Cet essai explore comment les fonctions dérivées sont utilisées en IA pour optimiser les fonctions de coût, en mettant en lumière des concepts clés et en intégrant des formules mathématiques pertinentes.

Les modèles d'apprentissage automatique apprennent en ajustant leurs paramètres pour minimiser une fonction de coût, qui mesure la différence entre les prédictions du modèle et les valeurs réelles. Par exemple, dans la régression linéaire, la fonction de coût est souvent la somme des carrés des erreurs (mean squared error, MSE), définie comme :

où $m$ est le nombre d’exemples d’entraînement.

est la prédiction du modèle pour l’exemple $i$ et $y^{(i)}$ est la valeur réelle. Les paramètres du modèle sont représentés par $\theta$.

Pour minimiser la fonction de coût J(θ), nous utilisons l’algorithme de descente de gradient. Cet algorithme met à jour les paramètres θ en suivant la direction opposée au gradient de J(θ) par rapport à θ, c’est-à-dire :

où α est le taux d’apprentissage, un paramètre qui contrôle la taille des étapes de mise à jour. Le gradient de J(θ):

est un vecteur de dérivées partielles qui indique la direction et la vitesse de la plus grande augmentation de J(θ). Calculer ce gradient est essentiel pour que la descente de gradient fonctionne efficacement.

Un autre exemple clé est l’optimisation des réseaux neuronaux, où la fonction de coût est généralement plus complexe. Supposons que nous ayons un réseau neuronal avec une fonction de coût J(θ). Les paramètres du réseau, θ, comprennent les poids et les biais des différentes couches. Pour optimiser cette fonction de coût, nous utilisons une version étendue de la descente de gradient appelée rétropropagation, qui calcule les gradients des paramètres du réseau par rapport à la fonction de coût.

Le processus de rétropropagation implique deux passes à travers le réseau : une passe avant et une passe arrière. Lors de la passe avant, les entrées sont propagées à travers le réseau pour produire une sortie. Lors de la passe arrière, l’erreur de sortie est propagée en arrière à travers le réseau pour calculer les gradients. Les mises à jour des paramètres sont alors effectuées en utilisant les gradients calculés.

Prenons un exemple simple d'un réseau neuronal avec une seule couche cachée. Soit a l’activation de la couche de sortie, calculée comme :

où σ est la fonction d’activation (comme la sigmoïde ou ReLU) et z est la somme pondérée des entrées. La somme pondérée z est donnée par :

où $W$ est le vecteur des poids, $x$ est le vecteur des entrées, et $b$ est le biais. La fonction de coût $J(\theta)$ peut être une fonction d’erreur quadratique, par exemple :

où $y$ est la sortie réelle.

La dérivée de la fonction de coût par rapport aux paramètres $\theta$ (les poids et les biais) est calculée en utilisant la règle de chaîne :

​

Les dérivées partielles sont calculées pour chaque paramètre, permettant ainsi d'ajuster les poids et les biais pour minimiser la fonction de coût.

Un autre domaine de l’IA où les dérivées sont essentielles est l’optimisation des hyperparamètres. Les hyperparamètres sont des paramètres de haut niveau qui contrôlent le processus d’apprentissage, tels que le taux d’apprentissage α, le nombre de neurones dans une couche cachée, ou le nombre de couches dans un réseau. Optimiser ces hyperparamètres est crucial pour améliorer la performance du modèle. Une approche courante est la recherche de grille ou la recherche aléatoire, mais des méthodes plus avancées utilisent les dérivées, comme l’optimisation bayésienne, qui modélise la fonction de coût en utilisant des techniques probabilistes pour choisir les hyperparamètres de manière plus efficace.

En IA, les algorithmes d'optimisation tels que Adam (Adaptive Moment Estimation) combinent les idées de la descente de gradient et de l'adaptation des taux d'apprentissage pour chaque paramètre. Adam utilise les dérivées des moments de premier et deuxième ordre du gradient pour ajuster les taux d'apprentissage de manière adaptative :

​

où $g_t$ est le gradient à l'étape $t$, $m_t$ et $v_t$ sont les moments de premier et deuxième ordre respectivement, et $\beta_1$ et $\beta_2$ sont des coefficients de pondération. Les paramètres sont mis à jour en utilisant :

​​

où $\epsilon$ est un petit terme pour éviter la division par zéro.

Les dérivées jouent également un rôle important dans les méthodes de régularisation, qui ajoutent des termes de pénalité à la fonction de coût pour éviter le surajustement. Par exemple, la régularisation L2 ajoute un terme de pénalité proportionnel à la somme des carrés des poids :

​

où $\lambda$ est le coefficient de régularisation. La dérivée de cette fonction de coût régularisée par rapport aux poids inclut un terme supplémentaire pour la régularisation :​

En conclusion, les fonctions dérivées sont fondamentales pour l'optimisation des fonctions de coût en intelligence artificielle. Elles permettent aux algorithmes d'apprentissage automatique de minimiser les erreurs, d'ajuster les paramètres du modèle, et d'optimiser les hyperparamètres, améliorant ainsi la performance des modèles. Grâce aux dérivées, les ingénieurs et les chercheurs peuvent développer des modèles plus précis et robustes, capables de résoudre des problèmes complexes et variés dans de nombreux domaines d'application de l'IA.

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