Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 1 Exercice 17

Fonction dérivée : Sujet 
partie.1 : Ex.17

En utilisant le tableau de la fonction dérivée du cours ou de la fiche d’aide.
Calculer :
a.    la dérivée de la fonction : 

b.    le nombre dérivé  "  f '(x_A)"  au point A d’abscisse : 
                                x_A =  –5  ;  3  et  8. 
c.    le coefficient directeur   "  a  "  de la tangente (y = ax+b) point A d’abscisse :   
                            x_A =  –5  ;  3  et  8.       👉   a = f '(x_A)

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Fonction dérivée en Hydrologie : Étude des flux d'eau

L'hydrologie est la science qui étudie le mouvement, la distribution et la qualité de l'eau sur Terre. Les fonctions dérivées jouent un rôle fondamental dans l'analyse et la modélisation des flux d'eau, permettant de comprendre et de prévoir les dynamiques complexes des systèmes hydrologiques. Cet essai explore l'utilisation des fonctions dérivées dans l'étude des flux d'eau en hydrologie, en intégrant quelques formules mathématiques pour illustrer ces concepts.

L'une des applications les plus courantes des fonctions dérivées en hydrologie est la modélisation du débit des rivières et des ruisseaux. Le débit Q(t) est défini comme le volume d'eau passant à travers une section transversale d'une rivière par unité de temps. Pour modéliser comment le débit change avec le temps, on utilise l'équation de continuité, qui se base sur la conservation de la masse :

où P représente les précipitations, E l'évaporation, et R le ruissellement. La dérivée:

décrit le taux de changement du débit au fil du temps. Cette équation permet d'analyser comment les différentes composantes du cycle hydrologique influencent le débit des rivières, offrant ainsi des informations cruciales pour la gestion des ressources en eau et la prévention des inondations.

La modélisation des crues est une autre application importante des fonctions dérivées en hydrologie. Les modèles de crue utilisent des équations différentielles pour simuler la propagation des ondes de crue le long des rivières. L'équation de Saint-Venant, également connue sous le nom d'équation des ondes cinématiques, est fréquemment utilisée pour modéliser ces phénomènes :

où $Q$ est le débit, $u$ la vitesse de l'eau, $A$ la section transversale de l'écoulement, $t$ le temps, et $x$ la position le long de la rivière. La dérivée partielle:

représente le taux de changement du débit avec le temps, tandis que:

représente la variation spatiale de l'écoulement. En résolvant cette équation, les hydrologues peuvent prédire comment les ondes de crue se déplacent et se dissipent, ce qui est essentiel pour la planification des mesures de protection contre les inondations.

Les fonctions dérivées sont également utilisées pour modéliser l'infiltration de l'eau dans le sol, un processus crucial pour comprendre la recharge des nappes phréatiques et la disponibilité de l'eau pour l'agriculture. Le modèle de Green-Ampt est un exemple de modèle d'infiltration qui utilise les dérivées pour décrire le taux d'infiltration f(t) :

où K est la conductivité hydraulique du sol, Ψ la succion à l'avant d'infiltration, Δθ la différence de teneur en eau entre le sol saturé et non saturé, et F(t) la quantité cumulée d'eau infiltrée. La dérivée:

représente le taux de changement de l'infiltration au fil du temps. Ce modèle permet d'estimer l'infiltration en fonction des propriétés du sol et des conditions initiales, fournissant ainsi des informations précieuses pour la gestion de l'irrigation et la conservation des sols.

En hydrologie souterraine, les fonctions dérivées sont utilisées pour modéliser le flux des eaux souterraines dans les aquifères. L'équation de Darcy, qui décrit le flux d'eau à travers un milieu poreux, est une équation différentielle clé dans cette modélisation :

​

où Q est le débit d'eau, K la conductivité hydraulique, A la section transversale de l'aquifère, h la hauteur piézométrique, et x la distance. La dérivée:

représente le gradient hydraulique. Cette équation permet de déterminer comment l'eau se déplace dans les aquifères, aidant à la gestion des ressources en eau souterraine et à la prévention de l'épuisement des nappes phréatiques.

La qualité de l'eau est également une préoccupation majeure en hydrologie, et les fonctions dérivées sont utilisées pour modéliser le transport et la dispersion des contaminants dans les cours d'eau et les aquifères. L'équation d'advection-diffusion est couramment utilisée pour cette modélisation :

​

où C est la concentration du contaminant, u la vitesse de l'eau, et D le coefficient de diffusion. La dérivée:

représente le taux de changement de la concentration au fil du temps.

la variation spatiale due à l'advection, et: 

la variation due à la diffusion. En résolvant cette équation, les scientifiques peuvent prédire la dispersion des contaminants et évaluer les risques pour les écosystèmes et la santé humaine.

Les fonctions dérivées sont également appliquées à l'étude des écoulements en surface, tels que le ruissellement pluvial sur les bassins versants. Le modèle de ruissellement de Horton utilise une approche basée sur les dérivées pour décrire le taux de ruissellement R(t) :

où P(t) est l'intensité des précipitations et f(t) le taux d'infiltration. La dérivée:

montre comment le ruissellement change avec le temps en fonction des précipitations et de l'infiltration. Ce modèle aide à comprendre et à prédire les flux de ruissellement, qui sont essentiels pour la gestion des inondations et la conception des infrastructures hydrauliques.

En hydrologie, les dérivées ne se limitent pas seulement aux équations différentielles mais s'étendent également aux dérivées temporelles et spatiales pour analyser les tendances et les variations à long terme des systèmes hydrologiques. Par exemple, l'analyse des tendances des débits des rivières sur plusieurs décennies peut être réalisée en utilisant les dérivées temporelles pour déterminer les changements dans les régimes hydrologiques dus aux variations climatiques ou aux modifications de l'utilisation des terres.

Les modèles hydrologiques intégrant les dérivées sont essentiels pour la gestion intégrée des ressources en eau. Ils permettent d'évaluer les impacts des changements climatiques sur les régimes hydrologiques, de prévoir les événements extrêmes comme les inondations et les sécheresses, et de planifier des stratégies de gestion durables. Par exemple, la gestion des bassins versants nécessite une compréhension approfondie des interactions entre les précipitations, l'infiltration, le ruissellement et l'écoulement des rivières, toutes ces interactions étant modélisées à l'aide des dérivées.

En conclusion, les fonctions dérivées jouent un rôle crucial dans l'étude des flux d'eau en hydrologie. Elles permettent de modéliser et de comprendre les dynamiques complexes des systèmes hydrologiques, de la propagation des crues à l'infiltration des sols et au transport des contaminants. Grâce à ces outils mathématiques, les hydrologues peuvent prévoir les impacts des changements climatiques, gérer les ressources en eau de manière durable, et protéger les écosystèmes aquatiques et les populations humaines contre les risques environnementaux. Les fonctions dérivées offrent une perspective analytique puissante pour décrire et quantifier les processus hydrologiques, facilitant ainsi la prise de décisions informées et la mise en œuvre de politiques efficaces pour la gestion de l'eau.

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