Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths  Terminale Bac Pro  

Suite géométrique: Récapitulatif

On donne la suite de nombres : 7 . 14 . 28 . 56 . 112 . 224.

V₁ = est le premier terme    ;   V₂ = est le deuxième terme.

V_n = est le nième terme   ;   q est la raison de la suite.

n est l'indice du terme

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Comment il faut l'appliquer :

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Comment il faut l'appliquer :

V₆ = V₅ x q = 112 x 2 = 224      ;     V₇ = V₆ x q = 224 x 2 = 448

V₈ = V₇ x q = 448 x 2 = 896      ;     V₉ = V₈ x q = 896 x 2 = 1792

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Comment il faut l'appliquer : 

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Comment il faut l'appliquer :

La somme des 14 premiers termes S14

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Terme général d'une Suite Géométrique

L'intérêt du Terme Général d'une Suite Géométrique : Théorie et Applications

Les suites géométriques sont des séquences mathématiques essentielles où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante appelée raison. Le terme général d'une suite géométrique, exprimé par une formule précise, joue un rôle crucial dans l'analyse et l'application de ces suites dans divers domaines tels que la finance, la biologie, la physique, et bien plus encore. Cet article explore en profondeur l'intérêt du terme général d'une suite géométrique, ses propriétés mathématiques, ainsi que ses multiples applications pratiques.

Définition et Notation

Une suite géométrique est définie par un terme initial ${𝑢}_0$ et une raison $𝑞$ telle que chaque terme ${𝑢}_{𝑛}$ de la suite est obtenu par :

${𝑢}_{𝑛}={𝑢}_0\cdot {𝑞}^{𝑛}$

où :

• ${𝑢}_{𝑛}$ est le $𝑛$-ième terme de la suite,
• ${𝑢}_0$ est le premier terme,
• $𝑞$ est la raison,
• $𝑛$ est un entier naturel représentant la position du terme dans la suite.

Exemple

Considérons une suite géométrique où ${𝑢}_0=2$ et $𝑞=3$. Les premiers termes de cette suite sont :

• ${𝑢}_0=2$
• ${𝑢}_1=2\cdot 3=6$
• ${𝑢}_2=6\cdot 3=18$
• ${𝑢}_3=18\cdot 3=54$
• et ainsi de suite.

Propriétés du Terme Général

Croissance et Décroissance

La nature de la suite géométrique dépend de la valeur de $𝑞$ :

• Si $𝑞>1$ : La suite est croissante.
• Si $0<𝑞<1$ : La suite est décroissante.
• Si $𝑞=1$ : La suite est constante, avec ${𝑢}_{𝑛}={𝑢}_0$ pour tout $𝑛$.
• Si $𝑞<0$ : La suite alterne en signe, et la valeur absolue des termes croît ou décroît selon $\mathrm{\mid }𝑞\mathrm{\mid }$.

Convergence et Divergence

Le comportement asymptotique d'une suite géométrique dépend de la valeur absolue de $𝑞$ :

• Si $\mathrm{\mid }𝑞\mathrm{\mid }<1$ : La suite tend vers zéro à mesure que $𝑛$ augmente.
• Si $\mathrm{\mid }𝑞\mathrm{\mid }\ge 1$ : La suite diverge et ses termes tendent vers l'infini en valeur absolue si $𝑞>1$, ou oscillent indéfiniment si $𝑞<-1$.

Formule du Terme Général

La formule du terme général ${𝑢}_{𝑛}$ permet de calculer directement n'importe quel terme de la suite sans avoir à connaître tous les termes précédents. Cela simplifie grandement l'analyse et les calculs associés aux suites géométriques.

Exemple d'Application : Calcul des Intérêts Composés

En finance, les intérêts composés sont un exemple classique de l'utilisation des suites géométriques. Si un capital initial ${𝐶}_0$ est investi à un taux d'intérêt annuel $𝑟$, la valeur future du capital après $𝑛$ années est donnée par :

${𝐶}_{𝑛}={𝐶}_0\cdot (1+𝑟{)}^{𝑛}$

Ici, $(1+𝑟)$ joue le rôle de la raison $𝑞$.

Utilité du Terme Général

Prévision et Modélisation

La formule du terme général permet de modéliser et de prévoir des phénomènes réels :

• Finance : Calcul des valeurs futures des investissements, des emprunts, et des rentes.
• Biologie : Modélisation de la croissance des populations, où la raison peut représenter le taux de reproduction.
• Physique : Décomposition radioactive et autres processus exponentiels naturels.

Optimisation

En ayant accès au terme général, on peut optimiser diverses stratégies :

• Investissements : Déterminer le meilleur taux d'intérêt pour maximiser les gains sur une période donnée.
• Gestion des Ressources : Prédire l'épuisement ou la croissance des ressources naturelles et planifier en conséquence.

Analyse Mathématique

L'étude des termes généraux permet de :

• Trouver des limites : Déterminer le comportement asymptotique des suites.
• Résoudre des équations : Utiliser les propriétés des suites géométriques pour résoudre des problèmes complexes.

Applications Pratiques

Finance et Économie

Intérêts Composés

Comme mentionné précédemment, les intérêts composés sont directement liés aux suites géométriques. La capacité à prévoir la valeur future d'un investissement est cruciale pour la planification financière.

Amortissement des Prêts

Les paiements réguliers sur un prêt, où chaque paiement réduit le solde principal, suivent également une logique géométrique. Le terme général permet de calculer les paiements nécessaires pour rembourser le prêt sur une période donnée.

Biologie et Écologie

Croissance des Populations

En écologie, la croissance des populations peut être modélisée par des suites géométriques. Par exemple, si une population de bactéries double toutes les heures, la formule du terme général donne la taille de la population à n'importe quel moment.

Dynamique des Écosystèmes

Les interactions entre espèces dans un écosystème peuvent également être modélisées en utilisant des suites géométriques, en particulier pour comprendre les effets des taux de reproduction et de mortalité.

Physique et Chimie

Décomposition Radioactive

La décomposition radioactive suit une loi exponentielle, où la quantité de substance radioactive diminue selon une suite géométrique. Le terme général permet de prédire la quantité de substance restante après un certain nombre de demi-vies.

Diffusion de la Chaleur

Dans certains modèles de diffusion de la chaleur, la température à différents points d'un matériau peut suivre une distribution géométrique, permettant des prévisions précises sur la dissipation thermique.

Informatique et Algorithmes

Recherche Binaire

La recherche binaire, une technique efficace pour trouver un élément dans une liste triée, utilise une suite géométrique pour diviser l'espace de recherche de manière exponentielle à chaque étape. Le terme général permet d'analyser la complexité temporelle de l'algorithme.

Compression de Données

Certains algorithmes de compression de données utilisent des suites géométriques pour réduire la taille des fichiers en exploitant des redondances, où la raison représente le taux de compression.

Conclusion

Le terme général d'une suite géométrique est un outil mathématique puissant et polyvalent. Sa capacité à modéliser des phénomènes naturels, financiers, et technologiques en fait un élément essentiel dans de nombreux domaines d'étude et d'application. En comprenant et en utilisant le terme général, il est possible de résoudre des problèmes complexes, d'optimiser des stratégies, et de prévoir des comportements futurs avec précision. Que ce soit pour calculer des intérêts composés, modéliser la croissance d'une population, ou analyser la complexité d'un algorithme, le terme général d'une suite géométrique offre des solutions élégantes et efficaces.

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