Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

Maths  Terminale Bac Pro

Suite géométrique : Cours

SUITES GEOMETRIQUES

On donne la suite de nombres : 7 . 14 . 28 . 56 . 112 . 224. 

7	14	28	56	112	224

1.      Que remarque-t-on ? 

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2.      Quels sont les quatre nombres suivants ?

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·..............................................................................................................

·..............................................................................................................

·..............................................................................................................

3.      On pose V₁ = 7 ; V₂ = 14 ; V₃ =  28   et ainsi de suite 

            Effectuer les calculs pour déterminer V₁₁; V₁₂ ; V₁₃ et V₁₄  et indiquer les résultats:

·..............................................................................................................

·..............................................................................................................

·..............................................................................................................

·..............................................................................................................

Conclusion.1

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4.      Quel lien existe-t-il entre: 

·    V₁₁  et V₁₂ ?    👉    V₁₂ =  V₁₁ …............. 

·    V₁₂  et V₁₃ ?     👉   .................………...... 

·    V₁₃  et V₁₄ ?     👉   ................………...... 

5.      Calculer les quotients:  

6.      Préciser la signification de ce rapport: 

7.      Plus généralement déterminer   :

Conclusion.2

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.................................................................................................................................

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8.      Exprimer :

·    V₅ en fonction de V₄ :    👉    V₅ =  V₄ …............. 

·    V₄ en fonction de V₃ :     👉   .................………...... 

·    V₃ en fonction de V₂  :    👉    ................………......  

·    V₂ en fonction de V₁      👉   .................………...... 

9.      En déduire l'expression de V₅ en fonction de V₁ et de q = 2:

👉        V₅  =  V₄ ´ ……... 

👉        ............................. 

👉        ............................. 

👉        ........................... .

10.  Exprimer U₆  en fonction de V₅ :  

👉        V₆  = ……….…………………….. 

11.  On déduire l’expression V₆  en fonction de V₁ :

👉        ............................. 

👉        ............................. 

12.  Observer les résultats obtenus dans les questions 9 et 11 et donner l'expression de V₁₄ en fonction de V₁ :

👉        ……….…………………….. 

13.  Donner l'expression de V₆₂ en fonction de V₁ :

👉        ……….…………………….. 

14.  Plus généralement, exprimer U_n en fonction de V₁ et n  en vous appuyant sur les questions 9 ;11 ; 12 et 13 :

👉        ……….……………………..  

Conclusion.3

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15.  On utilise l’expression générale de V_n , calculer: 

👉 V₁₈ = ......................................................................................

 👉 V₂₂ =  ......................................................................................

B.     Somme des n premiers termes d’une suite géométrique 

1.      Calculer la somme des 6 premiers termes de la suite géométrique:  

S₆ = V₁ + V₂ + V₃ + V₄ + V₅ + V₆ 

                        S₆ = ………………………………………………………………………  

2.      Comparer le résultat avec l’expression : 

3.      Calculer la somme des 14 premiers termes de la suite géométrique: 

S₁₄ = V₁+V₂+V₃ + V₄ + V₅ + V₆ + V₇ + V₈ + V₉ + V₁₀ + V₁₁ + V₁₂ + V₁₃ + V₁₄

S₁₄ =............................................................................................

......................................................................................................

4.      Comparer le résultat avec l’expression : 

Conclusion.9 :

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5.      Calculer la somme des 50 premiers termes de la suite géométrique:

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La Raison d'une Suite Géométrique

La Raison d'une Suite Géométrique : Fondements et Applications

Les suites géométriques jouent un rôle central dans les mathématiques et leurs applications pratiques. Un des éléments clés de ces suites est la raison, un facteur constant qui relie chaque terme au suivant. Comprendre la raison d'une suite géométrique permet de décrire et de manipuler des séquences avec précision et ouvre la voie à des solutions élégantes pour divers problèmes scientifiques et financiers. Dans ce texte, nous allons explorer en détail la notion de raison d'une suite géométrique, ses propriétés, sa détermination, ainsi que ses applications.

Définition et Notation

Une suite géométrique est une séquence de nombres dans laquelle chaque terme après le premier est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre constant appelé raison (souvent notée $𝑞$). Mathématiquement, si $({𝑢}_{𝑛})$ est une suite géométrique, alors pour tout $𝑛\ge 0$ :

${𝑢}_{𝑛+1}={𝑢}_{𝑛}\cdot 𝑞$

où :

• ${𝑢}_{𝑛}$ est le $𝑛$-ième terme de la suite,
• $𝑞$ est la raison de la suite,
• $𝑛$ est un entier naturel représentant la position du terme dans la suite.

Propriétés de la Raison

La raison $𝑞$ possède plusieurs propriétés qui influencent le comportement de la suite géométrique.

Nature de la Raison

La valeur de $𝑞$ détermine le comportement général de la suite géométrique :

• $𝑞>1$ : La suite est croissante et tend vers l'infini si ${𝑢}_0>0$.
• $0<𝑞<1$ : La suite est décroissante et tend vers zéro.
• $𝑞=1$ : La suite est constante.
• $𝑞<0$ : La suite alterne en signe, et son amplitude dépend de la valeur absolue de $𝑞$.

Exemples de Suites Géométriques

1. Suite Croissante : Si ${𝑢}_0=2$ et $𝑞=3$, la suite est $2,6,18,54,162,\dots$.
2. Suite Décroissante : Si ${𝑢}_0=100$ et $𝑞=0.5$, la suite est $100,50,25,12.5,6.25,\dots$.
3. Suite Alternée : Si ${𝑢}_0=1$ et $𝑞=-2$, la suite est $1,-2,4,-8,16,\dots$.

Calcul de la Raison

Déterminer la raison $𝑞$ d'une suite géométrique peut se faire en utilisant les termes consécutifs de la suite.

Formule pour la Raison

Si ${𝑢}_{𝑛}$ et ${𝑢}_{𝑛+1}$ sont deux termes consécutifs de la suite, la raison $𝑞$ peut être calculée par :

$𝑞=\frac{{𝑢}_{𝑛+1}}{{𝑢}_{𝑛}}$

Cette formule permet de vérifier rapidement si une séquence est géométrique et de trouver la raison si elle l'est.

Exemple de Calcul

Considérons la suite $5,15,45,135,\dots$. Pour déterminer la raison : $𝑞=\frac{{𝑢}_1}{{𝑢}_0}=\frac{15}{5}=3$

Formules Liées à la Raison

Formule du $𝑛$-ième Terme

La formule générale pour le $𝑛$-ième terme d'une suite géométrique en fonction du premier terme ${𝑢}_0$ et de la raison $𝑞$ est :

${𝑢}_{𝑛}={𝑢}_0\cdot {𝑞}^{𝑛}$

Somme des $𝑛$ Premiers Termes

La somme ${𝑆}_{𝑛}$ des $𝑛$ premiers termes d'une suite géométrique est donnée par :

${𝑆}_{𝑛}={𝑢}_0\frac{1-{𝑞}^{𝑛}}{1-𝑞}\text{si}𝑞\mathrm{\ne }1$

Produit des $𝑛$ Premiers Termes

Le produit des $𝑛$ premiers termes d'une suite géométrique est :

${𝑃}_{𝑛}={𝑢}_0^{𝑛}\cdot {𝑞}^{\frac{𝑛(𝑛-1)}{2}}$

Applications de la Raison

Intérêts Composés en Finance

L'une des applications les plus courantes des suites géométriques est le calcul des intérêts composés. Si un capital initial ${𝐶}_0$ est investi à un taux d'intérêt annuel $𝑟$, la valeur future ${𝐶}_{𝑛}$ après $𝑛$ années est :

${𝐶}_{𝑛}={𝐶}_0(1+𝑟{)}^{𝑛}$

Ici, $1+𝑟$ joue le rôle de la raison.

Croissance Exponentielle en Biologie

La croissance exponentielle en biologie est un phénomène où la population d'organismes augmente à un taux proportionnel à sa taille actuelle, ce qui signifie que plus la population est grande, plus elle croît rapidement. Ce type de croissance est souvent observé dans les populations bactériennes, les cellules en culture, et certaines populations animales dans des conditions idéales où les ressources sont abondantes et les facteurs limitants sont absents.

Caractéristiques de la Croissance Exponentielle

1. Taux de Croissance Constante : Lors de la croissance exponentielle, chaque individu produit un certain nombre de descendants en une période de temps donnée, ce qui maintient un taux de croissance constant. Cela conduit à une augmentation rapide et continue de la population.

2. Courbe en J : Graphiquement, la croissance exponentielle se représente par une courbe en forme de J. Au début, la population croît lentement, mais à mesure que le nombre d'individus augmente, la croissance s'accélère de façon dramatique.

Conditions Favorables à la Croissance Exponentielle

Pour qu'une population biologique connaisse une croissance exponentielle, certaines conditions doivent être remplies :

1. Ressources Illimitées : La disponibilité illimitée de nourriture, de nutriments, et d'espace permet à la population de croître sans entrave.
2. Absence de Facteurs Limiteurs : L'absence de prédateurs, de maladies, et de compétitions intra-spécifiques ou inter-spécifiques favorise la croissance rapide.
3. Conditions Environnementales Optimales : Des conditions environnementales stables et favorables, telles qu'une température et un pH idéaux, sont également nécessaires.

Exemples de Croissance Exponentielle

1. Bactéries : Un exemple classique de croissance exponentielle est la prolifération des bactéries. Dans un milieu de culture riche en nutriments, les bactéries peuvent se diviser toutes les 20 minutes, doublant ainsi leur population à chaque cycle de division.
2. Population de Lapins : En l'absence de prédateurs et avec un accès illimité à la nourriture, une population de lapins peut également croître de manière exponentielle, conduisant à une explosion démographique.

Limites de la Croissance Exponentielle

En réalité, la croissance exponentielle ne peut pas se poursuivre indéfiniment. Plusieurs facteurs limitent cette croissance :

1. Ressources Limitées : À mesure que la population augmente, les ressources disponibles par individu diminuent, ce qui ralentit la croissance.
2. Compétition : La compétition pour les ressources entre les individus de la même espèce ou avec d'autres espèces peut limiter la croissance.
3. Prédateurs et Maladies : L'augmentation de la densité de la population peut attirer plus de prédateurs et favoriser la propagation des maladies, réduisant ainsi le taux de croissance.

Transition vers la Croissance Logistique

Lorsque les ressources deviennent limitées et que les facteurs limitants augmentent, la population cesse de croître de manière exponentielle et entre dans une phase de croissance logistique. La courbe en J de la croissance exponentielle se transforme alors en une courbe en S, ou sigmoïde, où la population atteint un plateau ou une capacité de charge.

Importance de la Croissance Exponentielle en Biologie

Comprendre la croissance exponentielle est crucial pour diverses applications biologiques et écologiques :

1. Gestion des Populations : Les écologistes et les gestionnaires de la faune utilisent ces concepts pour prévoir les dynamiques de population et prendre des décisions éclairées sur la conservation et la gestion des espèces.
2. Contrôle des Infections : En microbiologie et en médecine, comprendre la croissance exponentielle des pathogènes aide à concevoir des stratégies pour contrôler et prévenir les infections.
3. Biotechnologie : Dans les industries biotechnologiques, la croissance exponentielle des cultures cellulaires est exploitée pour produire des médicaments, des vaccins, et d'autres produits biologiques.

La croissance exponentielle est un concept fondamental en biologie qui illustre comment les populations peuvent augmenter rapidement sous des conditions idéales. Bien que cette croissance ne soit pas durable à long terme en raison des limites environnementales, elle joue un rôle clé dans la dynamique des populations et les stratégies de gestion biologique

Dans les modèles de croissance de population, la raison d'une suite géométrique peut représenter le taux de croissance. Par exemple, si une population initiale ${𝑃}_0$ croît à un taux constant $𝑔$, la population après $𝑛$ périodes est :

${𝑃}_{𝑛}={𝑃}_0(1+𝑔{)}^{𝑛}$

Dépréciation en Comptabilité

En comptabilité, la dépréciation d'un actif peut suivre une suite géométrique. Si la valeur d'un actif diminue de $𝑑\mathrm{\%}$ chaque année, la valeur de l'actif après $𝑛$ années est :

${𝑉}_{𝑛}={𝑉}_0(1-𝑑{)}^{𝑛}$

Algorithmes et Informatique

Dans les analyses d'algorithmes, les suites géométriques apparaissent souvent. Par exemple, le nombre d'étapes nécessaires pour réduire un problème de taille $𝑛$ à une taille constante en divisant par 2 à chaque étape est logarithmique, et chaque étape suit une suite géométrique décroissante avec raison $\frac{1}{2}$.

Propriétés Avancées et Comportement Asymptotique

Limite et Convergence

Le comportement asymptotique d'une suite géométrique dépend de la valeur absolue de la raison $𝑞$ :

• Si $\mathrm{\mid }𝑞\mathrm{\mid }<1$, la suite converge vers zéro.
• Si $\mathrm{\mid }𝑞\mathrm{\mid }>1$, la suite diverge et tend vers l'infini en valeur absolue.
• Si $𝑞=1$, la suite est constante.

Suites Géométriques et Logarithmes

Les suites géométriques sont liées aux logarithmes. En prenant le logarithme de chaque terme d'une suite géométrique, on obtient une suite arithmétique. Par exemple, pour une suite ${𝑢}_{𝑛}={𝑢}_0\cdot {𝑞}^{𝑛}$ :

$\log ({𝑢}_{𝑛})=\log ({𝑢}_0)+𝑛\log (𝑞)$

Cette relation est utile pour transformer des produits en sommes et simplifier les calculs.

Études de Cas

Exemple 1 : Planification Financière

Imaginons que vous souhaitez accumuler un certain montant $𝐴$ après $𝑛$ années en investissant $𝑃$ chaque année à un taux d'intérêt annuel $𝑟$. Le montant accumulé est une somme de termes géométriques :

$𝐴=𝑃\left(\frac{(1+𝑟{)}^{𝑛}-1}{𝑟}\right)$

Cela permet de planifier les contributions annuelles nécessaires pour atteindre un objectif financier.

Exemple 2 : Dégradation de Matériaux

La dégradation de certains matériaux peut être modélisée par une suite géométrique. Si un matériau perd $10\mathrm{\%}$ de sa masse chaque année, la masse après $𝑛$ années est :

${𝑀}_{𝑛}={𝑀}_0\cdot (0.9{)}^{𝑛}$

Conclusion

La raison d'une suite géométrique est un concept fondamental qui permet de décrire, analyser et prévoir le comportement des séquences dans de nombreux contextes. Que ce soit en finance, en biologie, en physique ou en informatique, la compréhension des propriétés et des applications de la raison offre des outils puissants pour résoudre des problèmes complexes. La simplicité et l'élégance des suites géométriques, combinées à leur large applicabilité, en font un pilier incontournable des mathématiques.

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