Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 1 Correction Ex.11

Fonction dérivée : Correction 
partie.1 : Ex.11

En utilisant le tableau de la fonction dérivée du cours ou de la fiche d’aide.
Calculer :
a.    la dérivée de la fonction :                     

b.    le nombre dérivé  "  f '(x_A)"  au point A d’abscisse : 
                                x_A =  -5  ;  3  et  8. 
c.    le coefficient directeur   "  a  "  de la tangente (y = ax+b) point A d’abscisse :   
                            x_A =  -5  ;  3  et  8   👉   a = f '(x_A)

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Réponse  

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Fonction dérivée en Linguistique : Modélisation des changements linguistiques

La linguistique, en tant que science des langues, bénéficie grandement de l'application des mathématiques, notamment des fonctions dérivées, pour modéliser les changements linguistiques au fil du temps. La modélisation des changements linguistiques implique l'analyse de l'évolution des phonèmes, des mots, des structures grammaticales et des significations à travers les âges. Les fonctions dérivées permettent de quantifier ces changements, d'analyser leur rythme et de prévoir les tendances futures. Cet essai explore l'utilisation des dérivées dans ce contexte en illustrant les concepts clés par des exemples et des formules mathématiques.

Pour commencer, supposons que nous avons une fonction L(t) qui représente une caractéristique linguistique (telle qu'un phonème, une fréquence de mot, ou une structure grammaticale) en fonction du temps t. La dérivée première de cette fonction:

représente le taux de changement de cette caractéristique au fil du temps. Un taux de changement constant indiquerait un changement linéaire, tandis qu'un taux variable pourrait indiquer des périodes d'accélération ou de décélération du changement linguistique.

Considérons un exemple simple où la fréquence d'un mot dans une langue évolue de manière exponentielle. La fréquence F(t) d'un mot à un moment donné t peut être modélisée par une fonction exponentielle :

où $F_0$ est la fréquence initiale du mot et $r$ est le taux de croissance ou de déclin. La dérivée première de cette fonction est :

Cette dérivée montre que le taux de changement de la fréquence d'un mot est proportionnel à sa fréquence actuelle, ce qui est typique des processus exponentiels.

Pour des changements linguistiques plus complexes, une fonction de croissance sigmoïde comme la fonction logistique peut être utilisée. Par exemple, si une nouvelle structure grammaticale est adoptée dans une langue, sa fréquence S(t) peut être modélisée par :

​

où $L$ est la fréquence maximale, $k$ est le taux de changement, et $t_0$ est le point d'inflexion. La dérivée de cette fonction est :

​

Cette dérivée indique que le taux de changement est maximal au point d'inflexion t0​ et diminue avant et après ce point, ce qui est typique des phénomènes de diffusion où une nouvelle structure linguistique est rapidement adoptée par une population avant de se stabiliser.

Un autre aspect crucial est l'analyse des changements phonétiques. Supposons que nous avons une fonction P(t) représentant la fréquence d'un phonème particulier. Les changements phonétiques peuvent être influencés par des facteurs sociaux, géographiques, et temporels. Pour modéliser ces influences, nous pouvons utiliser des dérivées partielles. Si P dépend du temps t, de la région r, et de l'âge des locuteurs a, alors P(t,r,a) peut être exprimée comme :

où $A$, $B$, $C$, et $D$ sont des constantes ajustables, et $t_0$ est un point central dans le temps. La dérivée partielle par rapport au temps est :

Cette dérivée montre comment la fréquence d'un phonème change au fil du temps, influencée par les facteurs géographiques et démographiques.

La modélisation des changements linguistiques nécessite également l'analyse de corpus de textes sur des périodes prolongées. Supposons que nous analysons la fréquence d'occurrence d'un mot ou d'une structure grammaticale dans un corpus. La fréquence peut être représentée par une fonction C(t), où t représente le temps. Une manière courante de modéliser ces données est d'utiliser des polynômes pour capturer les tendances et les variations. Si C(t) est un polynôme de degré n, alors :

La dérivée première de ce polynôme est :

Cette dérivée permet de déterminer le taux de changement de la fréquence d'occurrence au fil du temps. Une dérivée seconde:

peut également être calculée pour analyser l'accélération ou la décélération du changement linguistique.

Dans certains cas, les changements linguistiques peuvent être modélisés par des équations différentielles. Par exemple, la diffusion d'une innovation linguistique peut être modélisée par l'équation de diffusion de Fisher-KPP :

où u(x,t) est la proportion d'utilisateurs de l'innovation à l'emplacement x et au temps t, D est le coefficient de diffusion, et r est le taux de croissance. La solution de cette équation décrit la propagation spatiale et temporelle de l'innovation linguistique.

Une autre application des dérivées en linguistique est l'analyse de la stabilité et de la dynamique des systèmes linguistiques. En utilisant des systèmes d'équations différentielles, les linguistes peuvent modéliser les interactions entre différents aspects d'une langue. Par exemple, les changements dans la syntaxe et la sémantique peuvent être modélisés par un système d'équations comme :

où S représente une structure syntaxique et G une structure grammaticale. Les fonctions f et g décrivent les interactions entre ces structures. Les dérivées partielles de ces fonctions permettent de comprendre comment les changements dans une structure affectent l'autre et vice versa.

La linguistique computationnelle, un sous-domaine important de la linguistique, utilise des techniques dérivées pour le traitement automatique du langage naturel (NLP). Par exemple, les modèles de langue basés sur les réseaux de neurones utilisent des fonctions de coût qui dépendent des paramètres du modèle. L'optimisation de ces modèles implique la minimisation de la fonction de coût en utilisant des techniques de descente de gradient, où la dérivée première de la fonction de coût par rapport aux paramètres est calculée pour ajuster les poids du modèle :

​

où $\theta$ représente les paramètres du modèle, $\eta$ est le taux d'apprentissage, et $C$ est la fonction de coût.

Enfin, les dérivées jouent un rôle crucial dans l'analyse statistique des données linguistiques. Les techniques de régression, qui sont largement utilisées pour modéliser les relations entre variables linguistiques, reposent sur l'optimisation de fonctions de vraisemblance. Par exemple, dans une régression linéaire simple où la fréquence d'un mot $y$ est modélisée en fonction du temps $t$ par:

la fonction de coût (souvent l'erreur quadratique moyenne) est :

Les dérivées partielles de cette fonction de coût par rapport aux paramètres $\beta_0$ et $\beta_1$ sont utilisées pour trouver les valeurs optimales des paramètres qui minimisent l'erreur :

En résolvant ces équations, on obtient les estimations des paramètres qui décrivent le mieux les données linguistiques.

En conclusion, les fonctions dérivées sont des outils puissants pour modéliser et analyser les changements linguistiques. Elles permettent de quantifier les taux de changement, d'optimiser les modèles de langue, de comprendre les interactions entre différentes structures linguistiques, et d'analyser les données linguistiques de manière rigoureuse. Grâce à l'application des dérivées, les linguistes peuvent obtenir des insights précieux sur l'évolution des langues et formuler des théories plus robustes sur les dynamiques linguistiques.

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