Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 1 Exercice 10

Fonction dérivée : Sujet 
partie.1 : Ex.10

En utilisant le tableau de la fonction dérivée du cours ou de la fiche d’aide.
Calculer :
a.    la dérivée de la fonction :              

b.    le nombre dérivé  "  f '(x_A)"  au point A d’abscisse : 
                                x_A =  -1  ;  2  et  5. 
c.    le coefficient directeur   "  a  "  de la tangente (y = ax+b) point A d’abscisse :   
                            x_A =  -1  ;  2  et  5   👉   a = f '(x_A)

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Fonction dérivée en Agriculture : Modélisation de la croissance des cultures 

Les fonctions dérivées jouent un rôle crucial dans la modélisation de la croissance des cultures en agriculture. Elles permettent d’analyser et de prédire comment les différentes variables influencent la croissance des plantes au fil du temps. En appliquant des concepts mathématiques aux processus biologiques et environnementaux, les agronomes et les chercheurs peuvent optimiser les pratiques agricoles pour améliorer les rendements et la durabilité. Dans ce texte, nous explorerons comment les dérivées sont utilisées pour modéliser divers aspects de la croissance des cultures, y compris les taux de croissance, l'absorption des nutriments, et la gestion des ressources.

Commençons par la modélisation de la croissance des cultures en fonction du temps. Supposons que $G(t)$ représente la biomasse d’une culture à un moment $t$. La dérivée:

mesure le taux de croissance de la biomasse. Un modèle simple pour la croissance des plantes est le modèle de croissance exponentielle, qui peut être exprimé comme suit :

où r est le taux de croissance relatif. Ce modèle suggère que la croissance de la biomasse est proportionnelle à la biomasse actuelle, ce qui est souvent vrai dans les phases initiales de croissance lorsque les ressources ne sont pas limitées. Cependant, ce modèle ne tient pas compte des limitations environnementales et des ressources, ce qui peut être modifié en utilisant un modèle logistique :

où K est la capacité de charge environnementale, représentant le maximum de biomasse que l'environnement peut supporter. Ce modèle montre que la croissance est rapide au début, mais ralentit à mesure que la biomasse approche de K, se stabilisant finalement lorsque la capacité de charge est atteinte.

L'absorption des nutriments est un autre facteur clé influençant la croissance des cultures, qui peut également être modélisé à l'aide des dérivées. Supposons que N(t) représente la quantité de nutriments absorbés par les plantes à un moment t. La dérivée:

mesure le taux d'absorption des nutriments. Le taux d'absorption dépend de la disponibilité des nutriments dans le sol et de la capacité des plantes à les absorber. Un modèle courant pour l'absorption des nutriments est le modèle de Michaelis-Menten :

​

où Vmax est le taux maximal d'absorption, C(t) est la concentration de nutriments disponibles à un moment t, et Km​ est la constante de demi-saturation. Ce modèle indique que l'absorption des nutriments augmente avec la concentration des nutriments disponibles, mais atteint une limite maximale lorsque la capacité d'absorption des plantes est saturée.

La gestion de l'eau est un autre aspect critique de la croissance des cultures qui peut être analysé à l'aide des dérivées. Supposons que W(t) représente la quantité d'eau dans le sol disponible pour les plantes à un moment t. La dérivée:

​mesure le taux de changement de l'eau disponible. Ce taux est influencé par des facteurs tels que l'irrigation, les précipitations, l'évapotranspiration, et le drainage. Un modèle pour la dynamique de l'eau dans le sol pourrait être :

où I(t) est le taux d'irrigation, P(t) est le taux de précipitation, E(t) est le taux d'évapotranspiration, et D(t) est le taux de drainage. En résolvant cette équation, nous pouvons prédire la disponibilité de l'eau pour les plantes et ajuster les pratiques d'irrigation pour optimiser la croissance des cultures.

Les dérivées sont également utilisées pour modéliser l'effet de la lumière sur la croissance des plantes. Supposons que L(t) représente la quantité de lumière interceptée par les plantes à un moment t La dérivée:

​mesure le taux de changement de la lumière interceptée. La photosynthèse, qui est le processus par lequel les plantes convertissent la lumière en énergie, dépend directement de la quantité de lumière disponible. Un modèle simple pour la photosynthèse pourrait être :

où α est un coefficient de photosynthèse et β est un coefficient d'atténuation de la lumière. Ce modèle montre que la photosynthèse augmente avec l'augmentation de la lumière disponible, mais atteint une limite en raison de la saturation de la capacité photosynthétique des plantes.

En outre, les fonctions dérivées peuvent être utilisées pour modéliser l'effet des stress abiotiques, tels que la salinité ou la température, sur la croissance des cultures. Supposons que S(t) représente le niveau de stress abiotique à un moment t. La dérivée :

mesure le taux de changement du stress. Le stress peut réduire le taux de croissance des plantes en affectant divers processus physiologiques. Un modèle pour l'effet du stress sur la croissance des plantes pourrait être :

où γ est un coefficient représentant l'impact du stress sur la croissance. Ce modèle combine les effets de la capacité de charge environnementale et du stress abiotique, montrant que le stress réduit le taux de croissance en plus des limitations imposées par l'environnement.

Les interactions entre les plantes, telles que la compétition pour les ressources, peuvent également être modélisées à l'aide des dérivées. Supposons que C(t) représente la densité de la population des plantes compétitives à un moment t. La dérivée:

​mesure le taux de changement de la densité de population. La compétition pour les ressources peut être modélisée en utilisant un terme de compétition dans l'équation de croissance :

où α est un coefficient de compétition interspécifique. Ce modèle montre que la croissance des plantes est réduite non seulement par la densité de leur propre population, mais aussi par la densité des plantes compétitives, ce qui réduit la quantité de ressources disponibles par plante.

Enfin, les dérivées sont utilisées pour modéliser la dynamique des maladies des plantes. Supposons que I(t) représente la proportion de plantes infectées par une maladie à un moment t. La dérivée :

mesure le taux de propagation de la maladie. Un modèle épidémiologique couramment utilisé est le modèle SI (Susceptible-Infected), où les équations différentielles décrivent les taux de changement des populations sensibles S(t) et infectées I(t) :

où β est le taux de transmission de la maladie et γ est le taux de récupération ou de retrait des plantes infectées. En résolvant ces équations, nous pouvons prédire la propagation de la maladie et évaluer l'impact des interventions de gestion des maladies.

En conclusion, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques essentiels en agriculture pour modéliser la croissance des cultures et optimiser les pratiques agricoles. Elles permettent de quantifier les taux de changement des différents facteurs influençant la croissance des plantes, y compris la biomasse, l'absorption des nutriments, la gestion de l'eau, l'effet de la lumière, les stress abiotiques, la compétition, et les maladies des plantes. En utilisant ces modèles mathématiques, les agronomes peuvent obtenir des insights précieux sur les mécanismes sous-jacents aux processus de croissance des cultures et concevoir des interventions et des stratégies de gestion efficaces pour améliorer les rendements et la durabilité en agriculture.

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