Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 1 Correction Ex.12

Fonction dérivée : Correction 
partie.1 : Ex.12

En utilisant le tableau de la fonction dérivée du cours ou de la fiche d’aide.
Calculer :
a.    la dérivée de la fonction : 
                    
b.    le nombre dérivé  "  f '(x_A)"  au point A d’abscisse : 
                                x_A =  0  ;  4  et  9. 
c.    le coefficient directeur   "  a  "  de la tangente (y = ax+b) point A d’abscisse :   
                            x_A =  0  ;  4  et  9   👉   a = f '(x_A)

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Réponse

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Fonction dérivée en Économie de l'énergie : Modélisation de la demande et de l'offre

L'économie de l'énergie est un domaine crucial qui examine les interactions entre la demande et l'offre d'énergie, intégrant divers facteurs

économiques, technologiques et environnementaux. Les fonctions dérivées jouent un rôle essentiel dans cette analyse, permettant de quantifier les taux de variation et de comprendre les tendances du marché énergétique. Cet essai explore comment les dérivées sont utilisées pour modéliser la demande et l'offre d'énergie, en illustrant ces concepts avec quelques formules mathématiques.

Pour commencer, examinons la demande d'énergie. La demande d'énergie D peut être modélisée comme une fonction du prix de l'énergie P, du revenu des consommateurs Y et des conditions météorologiques C. Cette relation peut être exprimée par une fonction générale D=f(P,Y,C). Pour simplifier, nous nous concentrerons d'abord sur la relation entre la demande et le prix de l'énergie.

Une fonction de demande linéaire courante est donnée par:

où D0​ est la demande initiale lorsque le prix est nul, et α est un coefficient qui mesure la sensibilité de la demande au prix. La dérivée de cette fonction par rapport au prix, notée:

nous donne le taux de changement de la demande en fonction du prix:

Cette dérivée est négative, ce qui reflète l'intuition économique que la demande d'énergie diminue lorsque le prix augmente. Une valeur élevée de $\alpha$ indique que la demande est très sensible aux variations de prix.

Passons maintenant à l'offre d'énergie. L'offre d'énergie S peut également être modélisée comme une fonction du prix, ainsi que d'autres facteurs tels que les coûts de production Cp​ et les capacités technologiques T. Pour simplifier, considérons une fonction d'offre linéaire par rapport au prix:

où $S_0$ est l'offre initiale lorsque le prix est nul, et $\beta$ est un coefficient qui mesure la sensibilité de l'offre au prix. La dérivée de cette fonction par rapport au prix, notée:

 indique le taux de changement de l'offre en fonction du prix:

Cette dérivée est positive, indiquant que l'offre d'énergie augente lorsque le prix augmente. Cela correspond au comportement des producteurs qui sont incités à augmenter leur production lorsque les prix sont élevés.

Pour analyser l'équilibre du marché de l'énergie, nous devons examiner le point où la demande égale l'offre. À l'équilibre, nous avons $D(P) = S(P)$. En substituant les fonctions de demande et d'offre, nous obtenons:

En résolvant cette équation pour $P$, nous trouvons le prix d'équilibre $P^*$:​

​

Ce prix d'équilibre dépend des paramètres de sensibilité de la demande et de l'offre, ainsi que des niveaux initiaux de demande et d'offre. Une fois P∗ déterminé, nous pouvons trouver la quantité d'équilibre Q∗ en substituant P∗ dans l'une des fonctions:

Ces formules montrent comment les paramètres influencent le prix et la quantité d'équilibre dans le marché de l'énergie.

Pour modéliser les évolutions temporelles de la demande et de l'offre, nous pouvons utiliser des équations différentielles. Supposons que la demande et l'offre d'énergie changent au fil du temps en réponse à diverses variables économiques et technologiques. Nous pouvons modéliser ces dynamiques avec des équations différentielles comme suit:

où $k_1$ et $k_2$ sont des constantes positives représentant la vitesse d'ajustement de la demande et de l'offre vers l'équilibre. Ces équations indiquent que la demande et l'offre s'ajustent progressivement pour se rapprocher de l'équilibre. La solution de ce système montre comment la demande et l'offre convergent vers leurs valeurs d'équilibre au fil du temps.

La solution des équations différentielles donne les trajectoires de $D(t)$ et $S(t)$:

où $D_{eq}$ et $S_{eq}$ sont les valeurs d'équilibre de la demande et de l'offre. Ces solutions montrent que la demande et l'offre tendent vers l'équilibre de manière exponentielle, soulignant l'importance des dynamiques temporelles dans la modélisation de l'énergie.

En plus des dynamiques temporelles, les dérivées partielles sont utilisées pour analyser les effets marginaux des différentes variables explicatives sur la demande et l'offre. Par exemple, si la demande d'énergie dépend du prix P, du revenu Y, et des conditions météorologiques C, nous pouvons écrire la demande comme D=f(P,Y,C). La dérivée partielle de D par rapport à P, notée:

​

mesure l'effet marginal du prix sur la demande, De même: 

mesurent les effets marginaux du revenu et des conditions météorologiques.

Ces dérivées partielles permettent de quantifier l'impact de chaque variable sur la demande, fournissant des informations précieuses pour la formulation des politiques économiques et des stratégies d'entreprise. Par exemple, une augmentation du revenu des consommateurs pourrait entraîner une augmentation significative de la demande d'énergie, ce qui nécessiterait des ajustements dans la production et la distribution d'énergie.

Les dérivées jouent également un rôle clé dans l'optimisation des décisions économiques dans le secteur de l'énergie. Les entreprises doivent souvent décider combien d'énergie produire pour maximiser leurs profits ou minimiser leurs coûts. En utilisant les dérivées, elles peuvent déterminer les niveaux de production optimaux. Par exemple, si le coût de production d'énergie est représenté par une fonction de coût $C(Q)$, la dérivée de cette fonction par rapport à la quantité produite:

indique le coût marginal de production. En comparant ce coût marginal au revenu marginal (dérivée de la fonction de revenu R(Q), les entreprises peuvent trouver le point de production optimal où le profit est maximisé:

​

En conclusion, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques essentiels pour modéliser la demande et l'offre d'énergie en économie de l'énergie. Elles permettent de mesurer les taux de variation, de prévoir les tendances futures et d'optimiser les décisions économiques. En comprenant les relations entre les variables clés et en utilisant les dérivées pour analyser ces relations, les économistes et les décideurs peuvent obtenir des insights précieux sur les dynamiques complexes du marché de l'énergie. Cette compréhension approfondie est cruciale pour une gestion efficace et durable des ressources énergétiques, permettant de répondre aux défis énergétiques actuels et futurs avec des stratégies bien informées et basées sur des analyses rigoureuses.

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