Maths Terminal Bac Pro
Fonction dérivée : Partie 1 Correction Ex.10
Fonction dérivée : Correction
partie.1 : Ex.1
En utilisant le tableau de la fonction dérivée du cours ou de la fiche d’aide.
Calculer :
a. la dérivée de la fonction : 
b. le nombre dérivé " f '(xA)" au point A d’abscisse :
xA = -1 ; 2 et 5.
c. le coefficient directeur " a " de la tangente (y = ax+b) point A d’abscisse :
xA = -1 ; 2 et 5 👉 a = f '(xA)
Calculer :
a. la dérivée de la fonction :
xA = -1 ; 2 et 5.
c. le coefficient directeur " a " de la tangente (y = ax+b) point A d’abscisse :
xA = -1 ; 2 et 5 👉 a = f '(xA)
Réponse
..............................................................................................................Voir Cours 👉 Cours à trous 👉 Cours complétéVoir Fiche d'aide 👉 Fiche d'aideRevenir à la page de choix de l'exercice 👉 Choix d'un exercicePasser à la partie 1 Ex.11 👉 Sujet partie 1 Ex11
..............................................................................................................
Fonction dérivée en Agriculture : Modélisation de la croissance des cultures
Les fonctions dérivées jouent un rôle essentiel en océanographie, notamment dans la modélisation des courants marins. Les courants marins influencent divers aspects de l'environnement océanique, y compris la température de l'eau, la salinité, et le transport de nutriments et de sédiments. La compréhension et la modélisation des courants marins permettent de mieux prévoir les changements climatiques, la dynamique des écosystèmes marins et les impacts sur les activités humaines. Dans ce texte, nous explorons comment les dérivées sont utilisées pour modéliser les courants marins, en abordant des concepts clés tels que la dynamique des fluides, les équations de Navier-Stokes, et les équations de transport.
Pour commencer, les courants marins peuvent être décrits par les équations de Navier-Stokes, qui sont fondamentales en mécanique des fluides. Ces équations modélisent le mouvement des fluides en prenant en compte des facteurs comme la viscosité, la pression, et les forces externes. Les équations de Navier-Stokes en trois dimensions sont :
où u est le vecteur vitesse du fluide, ρ est la densité du fluide, p est la pression, ν est la viscosité cinématique, et f représente les forces externes agissant sur le fluide, telles que la gravité et les forces de Coriolis.La dérivée temporelle partielle:
décrit le changement de la vitesse du fluide au fil du temps, tandis que le terme advectif :
décrit le changement spatial de la vitesse dû au mouvement du fluide. Le terme:
représente la diffusion de la vitesse due à la viscosité, et:
décrit l'effet des gradients de pression sur le mouvement du fluide. Ces équations sont complexes à résoudre, mais elles fournissent une base pour modéliser les courants marins.
Les courants marins sont également influencés par les forces de Coriolis, qui résultent de la rotation de la Terre. Ces forces affectent la direction du mouvement des masses d'eau. La force de Coriolis est donnée par :
où Ω est le vecteur de la vitesse angulaire de la rotation terrestre. En tenant compte de cette force, les équations de Navier-Stokes deviennent :
Ces équations montrent comment la rotation de la Terre influence les courants marins, en ajoutant un terme supplémentaire qui modifie la direction du mouvement du fluide.
En océanographie, les courants de surface et les courants de profondeur sont souvent modélisés séparément en raison des différentes forces qui les influencent. Les courants de surface sont principalement drivés par le vent et les variations de densité causées par les différences de température et de salinité. Les courants de profondeur sont principalement influencés par les gradients de densité (circulation thermohaline).
Pour modéliser les courants de surface, nous utilisons souvent les équations de transport, qui décrivent le mouvement des particules dans un fluide. L'équation de transport pour une quantité conservée, telle que la température T, peut être écrite comme :
où κ est le coefficient de diffusivité thermique. La dérivée temporelle partielle:
représente le changement de température au fil du temps, tandis que le terme advectif:
représente le transport de la température par le mouvement du fluide. Le terme de diffusion:
décrit la diffusion de la température due aux gradients de température dans le fluide.
De manière similaire, l'équation de transport pour la salinité S est :
où D est le coefficient de diffusivité de la salinité. Ces équations montrent comment la température et la salinité, qui influencent la densité de l'eau, sont transportées par les courants marins.Pour les courants de profondeur, la circulation thermohaline peut être modélisée en utilisant les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement, couplées avec les équations d'état qui relient la densité de l'eau à la température et à la salinité. L'équation de conservation de la masse (équation de continuité) est :
cette équation indique que le flux de masse doit être conservé dans un fluide incompressible comme l'eau de mer.
Les équations de conservation de la quantité de mouvement en présence de gradients de densité sont données par :
où ρ0 est une densité de référence, et b est la force de flottabilité, qui dépend des variations de densité. La force de flottabilité peut être exprimée comme :
où g est l'accélération due à la gravité, ρ est la densité locale, et k est le vecteur unitaire vertical. La densité locale ρ est une fonction de la température et de la salinité, donnée par l'équation d'état de l'eau de mer :
Les équations de Navier-Stokes, combinées avec les équations de transport pour la température et la salinité, ainsi que les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement, forment un système complexe d'équations différentielles partielles qui doivent être résolues simultanément pour modéliser les courants marins.
La modélisation des courants marins nécessite également la prise en compte des interactions avec les frontières, telles que les côtes et le fond marin. Les conditions aux limites jouent un rôle crucial dans la détermination des solutions des équations de Navier-Stokes. Par exemple, les conditions de non-glissement imposent que la vitesse du fluide à la surface d'une paroi solide est nulle :
Pour les frontières libres, telles que la surface de l'océan, les conditions dynamiques et cinématiques doivent être satisfaites, incluant la continuité de la pression et la compatibilité des vitesses normales.
En conclusion, les fonctions dérivées sont essentielles pour modéliser les courants marins en océanographie. Les équations de Navier-Stokes, enrichies par les forces de Coriolis et les équations de transport pour la température et la salinité, permettent de décrire les dynamiques complexes des fluides océaniques. La résolution de ces équations, en tenant compte des conditions aux limites appropriées, fournit des prédictions sur le comportement des courants marins, aidant à mieux comprendre les interactions entre l'océan et le climat, les écosystèmes marins, et les impacts sur les activités humaines. Grâce à ces modèles mathématiques, les océanographes peuvent anticiper les changements environnementaux et concevoir des stratégies pour la gestion durable des ressources marines.
Fonction dérivée en Agriculture : Modélisation de la croissance des cultures
Les fonctions dérivées jouent un rôle essentiel en océanographie, notamment dans la modélisation des courants marins. Les courants marins influencent divers aspects de l'environnement océanique, y compris la température de l'eau, la salinité, et le transport de nutriments et de sédiments. La compréhension et la modélisation des courants marins permettent de mieux prévoir les changements climatiques, la dynamique des écosystèmes marins et les impacts sur les activités humaines. Dans ce texte, nous explorons comment les dérivées sont utilisées pour modéliser les courants marins, en abordant des concepts clés tels que la dynamique des fluides, les équations de Navier-Stokes, et les équations de transport.
Pour commencer, les courants marins peuvent être décrits par les équations de Navier-Stokes, qui sont fondamentales en mécanique des fluides. Ces équations modélisent le mouvement des fluides en prenant en compte des facteurs comme la viscosité, la pression, et les forces externes. Les équations de Navier-Stokes en trois dimensions sont :
La dérivée temporelle partielle:
décrit le changement de la vitesse du fluide au fil du temps, tandis que le terme advectif :
décrit le changement spatial de la vitesse dû au mouvement du fluide. Le terme:
représente la diffusion de la vitesse due à la viscosité, et:
décrit l'effet des gradients de pression sur le mouvement du fluide. Ces équations sont complexes à résoudre, mais elles fournissent une base pour modéliser les courants marins.
Les courants marins sont également influencés par les forces de Coriolis, qui résultent de la rotation de la Terre. Ces forces affectent la direction du mouvement des masses d'eau. La force de Coriolis est donnée par :
Ces équations montrent comment la rotation de la Terre influence les courants marins, en ajoutant un terme supplémentaire qui modifie la direction du mouvement du fluide.
En océanographie, les courants de surface et les courants de profondeur sont souvent modélisés séparément en raison des différentes forces qui les influencent. Les courants de surface sont principalement drivés par le vent et les variations de densité causées par les différences de température et de salinité. Les courants de profondeur sont principalement influencés par les gradients de densité (circulation thermohaline).
représente le changement de température au fil du temps, tandis que le terme advectif:
représente le transport de la température par le mouvement du fluide. Le terme de diffusion:
décrit la diffusion de la température due aux gradients de température dans le fluide.
Pour les courants de profondeur, la circulation thermohaline peut être modélisée en utilisant les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement, couplées avec les équations d'état qui relient la densité de l'eau à la température et à la salinité. L'équation de conservation de la masse (équation de continuité) est :
cette équation indique que le flux de masse doit être conservé dans un fluide incompressible comme l'eau de mer.
Les équations de conservation de la quantité de mouvement en présence de gradients de densité sont données par :
Les équations de Navier-Stokes, combinées avec les équations de transport pour la température et la salinité, ainsi que les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement, forment un système complexe d'équations différentielles partielles qui doivent être résolues simultanément pour modéliser les courants marins.
La modélisation des courants marins nécessite également la prise en compte des interactions avec les frontières, telles que les côtes et le fond marin. Les conditions aux limites jouent un rôle crucial dans la détermination des solutions des équations de Navier-Stokes. Par exemple, les conditions de non-glissement imposent que la vitesse du fluide à la surface d'une paroi solide est nulle :
Pour les frontières libres, telles que la surface de l'océan, les conditions dynamiques et cinématiques doivent être satisfaites, incluant la continuité de la pression et la compatibilité des vitesses normales.
En conclusion, les fonctions dérivées sont essentielles pour modéliser les courants marins en océanographie. Les équations de Navier-Stokes, enrichies par les forces de Coriolis et les équations de transport pour la température et la salinité, permettent de décrire les dynamiques complexes des fluides océaniques. La résolution de ces équations, en tenant compte des conditions aux limites appropriées, fournit des prédictions sur le comportement des courants marins, aidant à mieux comprendre les interactions entre l'océan et le climat, les écosystèmes marins, et les impacts sur les activités humaines. Grâce à ces modèles mathématiques, les océanographes peuvent anticiper les changements environnementaux et concevoir des stratégies pour la gestion durable des ressources marines.