Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 1 Correction Ex.9

Fonction dérivée : Correction 
partie.1 : Ex.9

En utilisant le tableau de la fonction dérivée du cours ou de la fiche d’aide.
Calculer :
a.    la dérivée de la fonction :                     

b.    le nombre dérivé  "  f '(x_A)"  au point A d’abscisse : 
                                x_A =  -1  ;  2  et  5. 
c.    le coefficient directeur   "  a  "  de la tangente (y = ax+b) point A d’abscisse :   
                            x_A =  -1  ;  2  et  5   👉   a = f '(x_A)

Réponse

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Fonction dérivée en Sociologie : Étude des dynamiques sociales

L'utilisation des fonctions dérivées en sociologie permet d'analyser de manière précie les dynamiques sociales, en quantifiant les taux de changement des différents phénomènes sociaux. Les dérivées offrent un outil mathématique puissant pour modéliser et comprendre les processus complexes qui régissent les comportements humains et les structures sociales. En utilisant des formules mathématiques, les sociologues peuvent étudier la diffusion des innovations, les mouvements sociaux, les changements d'opinion, et bien plus encore.

Commençons par l'exemple de la diffusion des innovations. Lorsque nous introduisons une nouvelle technologie ou idée, nous voulons comprendre comment elle se propage dans une population. Supposons que I(t) représente le nombre d'individus ayant adopté l'innovation à un temps t. Le taux de changement de I(t) peut être décrit par sa dérivée:

qui indique la vitesse à laquelle de nouvelles personnes adoptent l'innovation. Un modèle couramment utilisé pour la diffusion des innovations est le modèle logistique, qui peut être exprimé comme suit :

où r est le taux de croissance et K est la capacité de saturation de la population. Ce modèle montre que la diffusion est rapide au début, ralentit à mesure que la majorité adopte l'innovation, et se stabilise lorsque la saturation est atteinte.

Dans l'étude des mouvements sociaux, la dérivée joue également un rôle crucial. Supposons que M(t) représente le nombre de participants à un mouvement social à un temps t. La dérivée:

mesure le taux de croissance ou de déclin du mouvement. Ce taux peut être influencé par divers facteurs tels que les événements médiatiques, les répressions gouvernementales, et les campagnes de mobilisation. Un modèle possible est celui où la croissance du mouvement est proportionnelle à son actuel nombre de participants et une constante de recrutement k, mais est diminuée par un taux de démobilisation d :

En résolvant cette équation différentielle, nous pouvons prédire comment le mouvement social évoluera au fil du temps, en fonction des taux de recrutement et de démobilisation.

Les dynamiques d'opinion publique peuvent également être étudiées à l'aide des dérivées. Supposons que O(t) représente la proportion de la population ayant une certaine opinion à un temps t. La dérivée :

mesure le taux de changement de cette opinion. Un modèle simple pourrait être que le changement d'opinion est influencé par la différence entre la proportion actuelle et un niveau d'équilibre influencé par les médias, les leaders d'opinion et les interactions sociales :

où α est un coefficient de vitesse d'ajustement et 𝑂∗ est la proportion d'équilibre. Ce modèle indique que plus la différence entre l'opinion actuelle et l'opinion d'équilibre est grande, plus le taux de changement sera rapide.

Les dérivées sont également utilisées pour analyser les dynamiques des réseaux sociaux. Supposons que L(t) représente le nombre de liens sociaux dans un réseau à un temps t. La dérivée :

mesure le taux de création ou de dissolution des liens sociaux. Par exemple, si les liens sont formés à un taux proportionnel au nombre de liens existants mais aussi se dissolvent à un taux constant, nous pourrions avoir :

où β est le taux de formation de nouveaux liens proportionnel au nombre de liens existants et δ est le taux constant de dissolution des liens. En résolvant cette équation, nous pouvons comprendre comment le réseau évolue, se densifie ou se décompose avec le temps.

En démographie, les dérivées sont utilisées pour modéliser la croissance et le déclin des populations. Supposons que P(t) représente la taille de la population à un temps t. La dérivée:

mesure le taux de croissance démographique, influencé par les taux de naissance b, de décès d, et de migration m. Une simple équation différentielle pour la population pourrait être :

En résolvant cette équation, nous pouvons prédire la croissance ou le déclin de la population en fonction des taux de naissance, de décès et de migration.

Les dérivées jouent également un rôle dans l'étude des inégalités économiques. Supposons que R(t) représente la distribution des revenus dans une société à un temps t. La dérivée :

mesure le taux de changement des inégalités de revenu. Un modèle pourrait inclure des facteurs tels que la redistribution fiscale, la croissance économique et les politiques sociales. Par exemple, si la redistribution est fonction du revenu moyen μ et de la progressivité fiscale τ, nous pourrions avoir :

où τ est un coefficient de redistribution. Ce modèle suggère que les inégalités diminuent si R(t) est supérieur au revenu moyen, et augmentent si R(t) est inférieur.

En sociologie de l'éducation, les dérivées sont utilisées pour modéliser les dynamiques de l'accès à l'éducation et des performances scolaires. Supposons que S(t) représente le taux de participation scolaire à un temps t. La dérivée :

mesure le taux de changement de la participation scolaire. Les facteurs influençant ce taux peuvent inclure les politiques éducatives, les conditions socio-économiques, et les normes culturelles. Par exemple, un modèle simple pourrait être :

où γ est un coefficient de changement et E est le taux de participation scolaire attendu ou cible. Ce modèle suggère que les taux de participation scolaire tendent vers une cible sous l'influence des politiques et des interventions.

Dans le domaine de la santé publique, les dérivées sont utilisées pour modéliser la propagation des maladies et les comportements de santé. Par exemple, si H(t) représente le taux de prévalence d'une maladie à un temps t, la dérivée:

mesure le taux de changement de cette prévalence. Un modèle épidémiologique courant est le modèle SIR (Susceptible-Infected-Recovered), où les équations différentielles décrivent les taux de changement des populations susceptibles S(t), infectées I(t), et récupérées R(t) :

où β est le taux de transmission et γ est le taux de récupération. En résolvant ces équations, nous pouvons prédire l'évolution de l'épidémie et l'impact des interventions de santé publique.

En conclusion, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques essentiels en sociologie pour étudier les dynamiques sociales. Elles permettent de modéliser et d'analyser les taux de changement dans divers contextes sociaux, de la diffusion des innovations aux mouvements sociaux, en passant par les dynamiques d'opinion, les réseaux sociaux, la démographie, les inégalités économiques, l'éducation, et la santé publique. En utilisant ces modèles mathématiques, les sociologues peuvent obtenir des insights précieux sur les mécanismes sous-jacents aux phénomènes sociaux et concevoir des interventions et des politiques efficaces pour répondre aux défis sociaux.

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